主元素问题与摩尔投票法、格雷码

一堆小玩意，放到一起。

题意：给定一个n个元素数列，保证有一个数$a$的出现次数超过$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，求这个数。

数据范围$n<=3000000,a_i\le 2147483647,$时限0.5s，空间2M。

也就是说你就只开几个变量就行了。（虽然考试的时候有人拿hash玄学乱搞过了）

首先这个时间卡掉了排序，空间和数据范围卡掉了桶的做法。我们考虑利用“数$a$的出现次数超过$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$”这个特性。

我们发现（反正我没发现我太弱了55555）如果两两删去两个不同的元素，最后剩下的一定是元素$a$。证明考虑最坏的情况，所有其他元素一起来删掉$a$，那么由于$a$的个数超过一半，一定可以删掉其他所有的元素而自身有保留元素。

于是我们就得到了一种$O(n)$模拟的方法，而且只需要四个$int$变量：$n$，输入的$x$，计数器$cnt,ans$。具体地，我们每次输入一个数的时候，进行如下操作：

1. 如果$cnt=0$，则用$x$更新$ans$，将$cnt$设为$1$。
2. 如果$x\ne ans$，则将当前计数器$cnt-1$。（也就是用不同的元素互相消去）
3. 反之$cnt+1$。(也就是统计相同的元素个数)

依题意模拟即可。

scanf("%d",&n);
while(n--){
	int x;scanf("%d",&x);
	if(ans!=x){
		if(--cnt<=0)ans=x,cnt=1;
	}
	else cnt++;
}

反正我觉得不会考，但是考了就考了吧。

---

格雷码是一个二进制数系，其中两个相邻数的二进制位只有一位不同。

给出手动构造方法：

1. 翻转最低位得到下一个格雷码。
2. 翻转最右边的1的左边一位得到下一个格雷码。

交替操作1，2共$2^{k-1}$次可得到k位的格雷码序列。举个例子，3位格雷码序列为：

$$000,001,011,010,110,111,101,100$$

注意我们说的格雷码下标是从0开始的，即$G(0)=000,G(4)=110$。

然后是计算法：第$n$位格雷码为：

$$G(n)=n\oplus \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$$

int g(int n){
	return n^(n>>1);
}

然后是它的逆变换。$n$的二进制第$i$位与其格雷码$g$的二进制第$i$位的关系(最高位为$k$)：

$$n_{k-i}=\underset{j=0}{\overset{i}{⨁}}{g}_{k-j}$$

int getn(int g){
	int n=0;
	for(;g;g>>=1)n^=g;
	return n;
}