排序

其实排序能用的上的就三个：快排，归并，基排（\(O(wys)\)）。（其实priority_queue可能也算）

快排很好说，sort就行。还有一个stable_sort是相同大小元素顺序不变的稳定排序算法。(事实上我随了1e7个随机数，sort是3.412s，stable_sort是3.569s)

然后是归并。这个可以用来求逆序对，而且理解它的原理也很重要（今天A层考试又考了个这个然后我不会，就是这个题）。

首先说一下归并的原理。oi-wiki的递归部分有一句话可以大致说明：

如何给一堆数字排序？答：分成两半，先排左半边再排右半边，最后合并就行了，至于怎么排左边和右边，请重新阅读这句话。

这就是归并排序。我们分治地排序左半边和右半边，然后再把它们合并。显然关键的地方是合并。我们可以顺序扫描左半边和右半边两个数组，哪个比较小就放到排序后的数组里。这个东西根据主定理复杂度是\(O(n\log n)\)的。

直接说有点不明显，写点注释。

int a[1000010],b[1000010];
void mergesort(int l,int r){
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	mergesort(l,mid);mergesort(mid+1,r);//向下递归 
	int i=l,j=mid+1,k=l;//i为左区间指针 j为右区间指针 k为整体的指针(也就是排了多少个元素)
	while(i<=mid&&j<=r){
		if(a[i]<=a[j]){
			b[k]=a[i];i++;k++;//移动到辅助数组里 为保证稳定需要前半段在前面 也就是<= 
		}
		else{
			b[k]=a[j];j++;k++;
		}
	}
	while(i<=mid){
		b[k]=a[i];i++;k++;//如果还有没有转移完的数则转移 
	}
	while(j<=r){
		b[k]=a[j];j++;k++;
	}
	for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=b[i];//复制回原数组 
}

然后归并排序使得其支持一个操作：求逆序对数。

逆序对：对于数列\(a\)，使\(i<j,a_i>a_j\)的数对为逆序对（就是前面的数比后面的数大）。先上代码再解释。

void mergesort(int l,int r){
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	mergesort(l,mid);mergesort(mid+1,r);
	int i=l,j=mid+1,k=l;
	while(i<=mid&&j<=r){
		if(a[i]<=a[j])b[k++]=a[i++];
		else b[k++]=a[j++],cnt+=mid-i+1;//就这一句 
	}
	while(i<=mid)b[k++]=a[i++];
	while(j<=r)b[k++]=a[j++];
	for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=b[i];
}

对就加了一句。原理是什么？

观察我们每次统计答案的时间，是在\(a_j>a_i\)的时候。换言之，由于我们之前左右的数组已经排好序了，所以\(a_j\)一定大于在此之前的所有\(a_i\),而小于之后的所有\(a_i\)。所以我们只需要统计\(a_j\)对所有\(a_i\)的贡献就行了，也就是我们加上的数字。

3. 基数排序

基数排序是一种稳定的、非比较性的排序算法。假设我们有一堆数，我们可以稳定地从低位到高位排序，这样最后的结果就是排好序的结果。但是十进制排序一堆取模相当慢，所以开二进制。基数的选取大概有两种：\(2^8\)排序四次和\(2^{16}\)排序两次。

洛谷的题解一大堆玩指针的看不懂，所以写了个非指针式的自用。

int n,r1[256],r2[256],r3[256],r4[256];
int a[100010],b[100010];
void mysort(int a[],int b[]){
	for(int j=1;j<=n;j++){
		r1[a[j]&255]++;
		r2[(a[j]>>8)&255]++;
		r3[(a[j]>>16)&255]++;
		r4[a[j]>>24]++;//把每一位按基数扒出来扔到桶里 
	}
	for(int i=1;i<=255;i++){
		r1[i]+=r1[i-1];
		r2[i]+=r2[i-1];
		r3[i]+=r3[i-1];
		r4[i]+=r4[i-1];
	}//记录前缀和 
	for(int j=n;j>=1;j--){
		b[r1[a[j]&255]--]=a[j];
	}
	for(int j=n;j>=1;j--){
		a[r2[(b[j]>>8)&255]--]=b[j];
	}
	for(int j=n;j>=1;j--){
		b[r3[(a[j]>>16)&255]--]=a[j];
	}
	for(int j=n;j>=1;j--){
		a[r4[b[j]>>24]--]=b[j];
	}//进行四次桶排序 
}

如果理解了可以换成指针，卡常的话请务必使用指针（虽然容易re爆零）（洛谷板子指针和非指针能差出20ms）

void mysort(int a[],int b[]){
	int *i,tmp;
	for(i=a+1;i!=a+n+1;i++){
		tmp=*(int *)i;
		r1[tmp&255]++;
		r2[(tmp>>8)&255]++;
		r3[(tmp>>16)&255]++;
		r4[tmp>>24]++;
	}
	for(int j=1;j<=255;j++){
		r1[j]+=r1[j-1];
		r2[j]+=r2[j-1];
		r3[j]+=r3[j-1];
		r4[j]+=r4[j-1];
	}
	for(i=a+n;i!=a;i--){
		tmp=*i;
		b[r1[tmp&255]--]=*i;
	}
	for(i=b+n;i!=b;i--){
		tmp=*i;
		a[r2[(tmp>>8)&255]--]=*i;
	}
	for(i=a+n;i!=a;i--){
		tmp=*i;
		b[r3[(tmp>>16)&255]--]=*i;
	}
	for(i=b+n;i!=b;i--){
		tmp=*i;
		a[r4[tmp>>24]--]=*i;
	}
}