cdq分治

cdq分治，一种广为人知的离线分治算法。大体的思想是：

1. 将左右两边区间分开递归处理。
2. 统计左边区间修改对右边区间查询的影响。

第一步很简单，写两个递归就行了。关键在第二步。我们搞个cdq的经典问题——三维偏序来具体解释这个东西。

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

三维偏序，顾名思义，要求三维都满足某个条件。具体地，对于每个元素有一个三元组$(a_i,b_i,c_i)$，我们要求对每个元素$i$满足偏序关系$a_j\le a_i,b_j\le b_i,c_j\le c_i$的元素个数。

回忆我们解决二维偏序的方法，按照第一维为第一关键字，第二维为第二关键字的顺序排序。然后顺序扫描每个元素，将其第二维插入树状数组并统计答案。显然，第一维已经通过排序保证有序，树状数组又可以保证第二维只查到比当前数小的数，因此算法正确。

现在我们将问题拓展到了三维，我们可以用cdq分治解决问题。首先我们还是按照第一维为第一关键字，第二维为第二关键字，第三维为第三关键字排序，这样我们的第一维就是有序的。

然后我们开始分治。首先我们左右区间内部的贡献可以递归处理，那么我们就只需要考虑区间$[l,mid]$的元素对区间$[mid+1,r]$内答案的贡献。此时，由于我们第一维已经排好序（显然，这样二分是不会有区间重复的，参考线段树），那么左区间$[l,mid]$的第一维元素就会小于等于右区间$[mid+1,r]$的元素，也就是不用考虑第一维。这样我们就转化成了普通的二维偏序。

关于二维偏序，我们可以将左右两边分别按第二维为第一关键字，第三维为第二关键字进行排序。这样我们左右两边区间的第一维和第二维就都是有序的了。我们可以用两个指针扫描左右区间，用树状数组统计第三维，更新答案。

然后上个代码。注意这个题因为有相同元素，本来相互间有贡献，但是二分的时候会分开，没法相互统计，所以直接去个重。

struct node{
	int a,b,c,ans;
}s[1000010];
bool cmp1(node a,node b){
	return a.a==b.a?(a.b==b.b?a.c<b.c:a.b<b.b):a.a<b.a;
}
bool cmp2(node a,node b){
	return a.b==b.b?a.c<b.c:a.b<b.b;
}
void cdq(int l,int r){
	if(l==r)return;//边界为只有一个元素 
	int mid=(l+r)>>1;
	cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);//第一步 递归处理两边 
	sort(s+l,s+mid+1,cmp2);sort(s+mid+1,s+r+1,cmp2);
	int j=l;//左区间指针 
	for(int i=mid+1;i<=r;i++){
		while(s[j].b<s[i].b&&j<=mid){
			update(s[j].c,s[j].cnt);j++;
		}
		s[i].ans+=query(s[i].c);
	}
	for(int i=l;i<j;i++)update(s[i].c,-s[i].cnt);//每次统计之后清空树状数组 
}
int main(){
	//输入与去重 
	sort(s+1,s+n+1,cmp1);
	cdq(1,n);
}

然后是另一个东西：cdq分治优化dp。

具体地说，有的题的dp方程长得像$dp[i]=\underset{j=1}{\overset{i-1}{max}}dp[j]([a_j<a_i][b_j<b_i])+k$这种。发现这个东西，$a$是一维，$b$是一维，位置也是一维，于是就成了个三维偏序，可以用cdq来处理。

但是关于这个的cdq有一点要注意，就是一定要先递归左边，然后处理左边对右边的影响，然后还原（这个非常重要，因为你一定要按照原数组进行dp而不是排序以后的数组。举个例子，你求最大子序列和是直接扫还是排序再扫），最后递归右边。

原因是，我们普通的dp都是从左到右处理的。但是cdq分治是先处理小区间然后再处理大区间。如果我们按照普通的cdq写，那么先处理左边，再处理右边，统计左边对右边的贡献的时候，转移顺序就乱掉了。（毕竟我们正常dp也没有先左边再右边的吧）

处理方法也很简单，树状数组清空之后再按照第一维排一边序初始化整个数组，然后再递归右边就行了。

随便粘了个题的cdq部分。

void cdq(int l,int r){
	if(l==r)return; 
	int mid=(l+r)>>1;cdq(l,mid);
	sort(s+l,s+mid+1,cmp1);sort(s+mid+1,s+r+1,cmp2);
	int j=l;
	for(int i=mid+1;i<=r;i++){
		while(s[j].val<=s[i].l&&j<=mid){
			update(s[j].r,dp[s[j].t]);
			j++;
		}
		dp[s[i].t]=max(dp[s[i].t],query(s[i].val)+1);
	}
	for(int i=j-1;i>=l;i--)clear(s[i].r);
	sort(s+l,s+r+1);cdq(mid+1,r);//一定要先左再右
}

还有一点就是将动态问题（带修改）转化为静态问题。

举个例子，维护一个二维平面，然后支持在一个矩形区域内加一个数字，每次询问一个矩形区域的和。

如果不带修，我们有一个比较简洁的做法：扫描线。我们将每个矩形变成两条边，一条加，一条减回来。然后查询的时候我们维护一条一定长度的扫描线统计答案。

现在给你带修，我们可以仍然使用cdq分治。将修改拆成加减两个操作，询问差分成几个大减小。左对右的影响可以直接修改并且用扫描线处理，然后递归分治左右两边的关系。这样，我们就把动态问题转化为了静态问题。

另外的，如果各个修改之间独立（比如普通的加减，像上题一样），那么递归向下分治的顺序是无所谓的。然而，如果修改会对整个序列进行影响，而且后面的序列长什么样取决于前面的序列（比如上边的dp，修改会影响序列），那么我们就必须先分治左边，然后处理左边对右边影响，最后分治右边。原理和上面是差不多的。