leetcode-188 买卖股票4

题目

    给定一个数组表示股票每天的价格，最多交易k次，且手上最多只能拥有一支股票（即只能先卖出手上现有的股票再去购买新的股票），求最大的收益。 
    题目链接：买卖股票4 
    开始思路不清楚，参考了http://blog.csdn.net/dr_unknown/article/details/51939121 的解法。 
使用动态规划，先找清状态，题目中有两个主要变量天数，和交易次数，以及所要求的结果：最大的收益。那么可以构造状态dp[i][j]，表示前i天最多交易j次获得的最大收益。 
    有了状态dp，可以找到递推公式：dp[i][j] = max{dp[i-1][j]， dp[i-1][j-1] + prices[i] - prices[i-1]}：前i天进行j次的最大收益，等于前i-1天进行完最多j次交易的收益A和前i-1天进行完j-1次交易，且第i天进行最后一次交易的收益B的最大值。 
    但是这样有个问题，对于第二种情况，如果dp[i-1][j-1]中第j-1次交易是在第i-1天进行了卖出，那么 dp[i-1][j-1] + prices[i] - prices[i-1] 就相当于第j-1次交易是在第i天进行了卖出，最终相当于i天最多只进行了j-1次交易。 
    于是，需要细化状态，考虑使用状态 local[i][j]表示前i天最多进行j次交易，且最后一次卖出交易是在第i天完成，所获得的最大收益；global[i][j]表示前i天最多进行j次交易所获得的最大收益。 
于是有递归公式： 
local[i][j] = max{global[i-1][j-1] + max(prices[i] - prices[i-1], 0), local[i-1][j] + prices[i] - prices[i-1]} 
global[i][j] = max{local[i][j], global[i-1][j]} 
    进一步的，状态第一维i只和i-1有关，可以进行空间压缩，将二维数组变成一维，于是有递推公式： 
local[j] = max{global[j-1] + max(prices[i] - prices[i-1], 0), local[j] + prices[i] - prices[i-1]} 
global[j] = max{local[j], global[j]} 
但是需要注意j需要从高到低遍历，因为第i天交易j次的最优解依赖于第i-1天交易j-1次的最优解。 
    进行状态压缩时，数组的遍历方向很容易搞混，这是可以使用滚动数组，滚动数组一方面可以压缩空间，另一方面也不需要太过考虑数组的遍历方向。 
local[new_scroll][j] = max(global[old_scroll][j-1] + max(diff, 0), local[old_scroll][j] + diff); 
global[new_scroll][j] = max(local[new_scroll][j], global[old_scroll][j]);

实现

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class Solution { public:     int maxProfit(int k, vector<int> &prices) {         int n = prices.size();         if(n <= 1)             return 0;         if(k >= n)             return maxProfit2(prices);         for(int i = 0; i < 2; i ++){             local[i].assign(k + 1, 0);             global[i].assign(k + 1, 0);         }         int old_scroll = 0, new_scroll;         for(int i = 1; i < n; i ++){             int diff = prices[i] - prices[i-1];             new_scroll = 1 - old_scroll;             for(int j = 1; j <= k; j ++){                 local[new_scroll][j] = max(global[old_scroll][j-1] + max(diff, 0), local[old_scroll][j] + diff);                 global[new_scroll][j] = max(local[new_scroll][j], global[old_scroll][j]); //注意这里 local 为new_scroll             }             old_scroll = new_scroll;         }         return global[new_scroll][k];     }     int maxProfit2(vector<int>& prices){         int result = 0;         int n = prices.size();         for(int i = 1; i < n; i ++){             if(prices[i] > prices[i-1])                 result += (prices[i] - prices[i-1]);         }         return result;     } private:     vector<int> local[2];     vector<int> global[2]; };