有向无环图的拓扑排序
拓扑排序
对于一个有向无环图,我们可以这样确定一个图中顶点的顺序:
对于所有的u、v,若存在有向路径u-->v,则在最后的顶点排序中u就位于v之前。这样确定的顺序就是一个图的拓扑排序。
拓扑排序的特点:
(1)所有可以到达顶点v的顶点u都位于顶点v之前;
(2)所有从顶点v可以到达的顶点u都位于顶点v之后;
(3)只有有向无环图才存在拓扑排序;
(4)一个图的拓扑顺序不唯一
实现拓扑排序
思路
图中入度为0的点没有任何点可以到达它,因此可以排在最开始(若有多个入度为0的点,他们之间的相对顺序随意);
因为入度为0的顶点已经排完序了,因此可以将那些入度为0的顶点去掉。去掉之后的图中,还会存在一些入度为0的顶点,因此可以继续采用上述的方法....
到最后图中还有一些入度均不为0的顶点,那么在这个图中从任意一个顶点开始走下去,必然会经过每个顶点多于1次,即存在环,与前提矛盾!
实现
拓扑排序常用的算法是通过一个队列存放入度为0的点,每次取出队列头元素,访问该顶点,然后然后将该点连接的所有边消除,再将新图的入度为0的点加入队列...直到图中不存在入度为0的点。
#define MAX_NODE 1000 #define MAX_EDGE_NUM 100000 struct Edge{ int to; int w; int next; }; Edge gEdges[MAX_EDGE_NUM]; int gHead[MAX_NODE]; bool gVisited[MAX_NODE]; int gInDegree[MAX_NODE]; int gEdgeCount; void InsertEdge(int u, int v, int w){ int e = gEdgeCount++; gEdges[e].to = v; gEdges[e].w = w; gEdges[e].next = gHead[u]; gHead[u] = e; gInDegree[v] ++; //入度加1 } void TopoSort(int n /*节点数目*/){ queue<int> zero_indegree_queue; for (int i = 0; i < n; i++){
if (gInDegree[i] == 0) zero_indegree_queue.push(i); } memset(gVisited, false, sizeof(gVisited)); while (!zero_indegree_queue.empty()){ int u = zero_indegree_queue.front(); zero_indegree_queue.pop(); gVisited[u] = true; //输出u for (int e = gHead[u]; e != -1; e = gEdges[e].next){ int v = gEdges[e].to; gInDegree[v] --; if (gInDegree[v] == 0){ zero_indegree_queue.push(v); } } } for (int i = 0; i < n; i++){ if (!gVisited[i]){ //存在环! 无法形成拓扑序 } } }