poj_2486 动态规划

题目大意

    N个节点构成一棵树，每个节点上有一个权重val[i], 从根节点root出发在树上行走，行走的时候只能沿着树枝行进。最多在树上走k步，每第一次到达某个节点j，可以获得val[j]的收益，求从root出发，最多走k步，可以得到的最大收益。

题目分析

    树形结构+ 最优化问题，考虑使用动态规划来解决，树形动态规划的dp状态，第一维 dp[i][...]一般是指从i节点出发或者以i节点为根的xxxx。 
/*dp[i][j][0] 表示从节点i出发，走j步，最终回到i节点，所能得到的最大收益 
dp[i][j][1] 表示从节点i出发，走j步，最终不回到i节点，所能得到的最大收益 
显然有： 
（1）从i出发走j步回到i得到的最大收益 vs 依次枚举i的子节点son，从i出发走 j-k步回到i（其中不包括son节点），再 
加上从son出发走k-2步，回到son节点，再加上i-->son 和 son-->i 的两步 
dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i][j-k][0] + dp[son][k-2][0] + val[son])

（2）从i出发走j步不回到i得到最大收益 vs 从i出发走 j-k步回到i（其中不包括son节点），再 
加上从son出发走k-1步，不回到son节点，再加上i-->son的一步 
dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i][j-k][0] + dp[son][k-1][1] +val[son]);

（3）从i出发走j步不回到i得到最大收益 vs 从i出发走 j-k步不回到i（其中不包括son节点），再 
加上从son出发走k-2步，回到son节点，再加上i-->son和son-->i 的两步 
dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i][j-k][1] + dp[son][k-2][0] + val[son]);

以dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i][j-k][1] + dp[son][k-2][0] + val[son]);为例，是否需要考虑 son节点走k-2步 
和从son的父节点i开始走j-k步的重合？ 答案是不需要，因为按照父节点i的子节点顺序，依次枚举son节点,在枚举到当前的son节点时， 
dp[i][j-k][1]中不包含当前的son的贡献 
*/

实现(c++)

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAX_NODE_NUM 205
#define MAX_STEP_NUM 205
#define max(a, b) a>b? a:b

/*dp[i][j][0] 表示从节点i出发，走j步，最终回到i节点，所能得到的最大收益
dp[i][j][1] 表示从节点i出发，走j步，最终不回到i节点，所能得到的最大收益
显然有： 
（1）从i出发走j步回到i得到的最大收益 vs  依次枚举i的子节点son，从i出发走 j-k步回到i（其中不包括son节点），再
加上从son出发走k-2步，回到son节点，再加上i-->son 和 son-->i 的两步
dp[i][j][0] = max(dp[i][j][0], dp[i][j-k][0] + dp[son][k-2][0] + val[son])

（2）从i出发走j步不回到i得到最大收益 vs 从i出发走 j-k步回到i（其中不包括son节点），再
加上从son出发走k-1步，不回到son节点，再加上i-->son的一步
dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i][j-k][0] + dp[son][k-1][1] +val[son]);

（3）从i出发走j步不回到i得到最大收益 vs 从i出发走 j-k步不回到i（其中不包括son节点），再
加上从son出发走k-2步，回到son节点，再加上i-->son和son-->i 的两步
dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i][j-k][1] + dp[son][k-2][0] + val[son]);


以dp[i][j][1] = max(dp[i][j][1], dp[i][j-k][1] + dp[son][k-2][0] + val[son]);为例，是否需要考虑 son节点走k-2步
和从son的父节点i开始走j-k步的重合？ 答案是不需要，因为按照父节点i的子节点顺序，依次枚举son节点,在枚举到当前的son节点时，
dp[i][j-k][1]中不包含当前的son的贡献
*/
int dp[MAX_NODE_NUM][MAX_STEP_NUM][2];
int val[MAX_NODE_NUM];
int  n, k;

struct Edge{
	int v;		//v表示该边所指向的子节点
	int next;	//next表示该边的兄弟边的索引
	Edge(int vv = -1, int nn = -1):
	v(vv), next(nn){
	}
};

Edge gEdges[2*MAX_NODE_NUM];  //利用静态数组构建 多叉树
int gEdgeIndex;
int gHead[MAX_NODE_NUM]; //gHead[i] 表示节点i的最右边的子节点,初始时均为 -1

void InsertEdge(int u, int v){ //因为不能确定u和v在最终的树中哪个是父节点哪个是子节点
								//因此分别将u和v作为父节点和子节点，形成边
	gEdges[gEdgeIndex].v = v;
	gEdges[gEdgeIndex].next = gHead[u];
	gHead[u] = gEdgeIndex++;
}

void Init(int n, int k){
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		gHead[i] = -1;
		for (int j = 1; j <= k; j++){
			dp[i][j][0] = dp[i][j][1] = 0;
		}
	}
	gEdgeIndex = 0;
}

void Dfs(int u, int father){
	for (int i = gHead[u]; i != -1; i = gEdges[i].next){
		int v = gEdges[i].v;
		if (v == father)	//对于两个节点u和v，有u-->v的边，也有v-->u的边，为了避免死循环
			continue;
		Dfs(v, u);

		for (int j = k; j >= 0; --j){
			for (int t = 1; j + t <= k; ++t){
				dp[u][j + t][0] = max(dp[u][j + t][0], dp[u][j][1] + dp[v][t - 1][0] + val[v]);
				if (t >= 2)dp[u][j + t][0] = max(dp[u][j + t][0], dp[u][j][0] + dp[v][t - 2][1] + val[v]);
				if (t >= 2)dp[u][j + t][1] = max(dp[u][j + t][1], dp[u][j][1] + dp[v][t - 2][1] + val[v]);
			}
		}
	}
}
int main(){
	int u, v;
	while (scanf("%d %d", &n, &k) != EOF){
		Init(n, k);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			scanf("%d", &val[i]);
		for (int i = 1; i < n; i++){
			scanf("%d %d", &u, &v);
			InsertEdge(u, v);
			InsertEdge(v, u);
		}
		Dfs(1, -1);
		printf("%d\n", dp[1][k][0] + val[1]);
	}
	return 0;
}