poj_3628 动态规划

题目大意

    有N个数字，大小为a[i], 给定一个数S，用这N个数中的某些数加起来使得结果sum>= S，且sum-S最小，求该最小的sum-S值。

题目分析

    题意中可知，这N个数字的和肯定大于S。那么可以先判断对于大于S的数s1，能否利用这N个物品的某些组合得到，然后找到最小的s1即可。利用动态规划的思想，设f[i][w] 表示能否利用前i种物品的某个组合加和得到w，有f[i][w] = f[i-1][w] || f[i-1][w-a[i]] + a[i]. 
    那么问题来了，要求的f[i][w]的w的范围是多少呢？设最大的a[i]为A，首先w肯定要大于S，然后w小于S+A。假设w大于等于S+A,那么即使知道了某个 f[i][w]为true（即可以通过N个数的某个组合加和得到w），那么肯定可以通过这N个数字的加和得到 w - a[i] >= S(a[i]为构成w的数字的集合中的任意一个数字）。在选择s1的时候会选择w-a[i]而非w，从而w大于等于S+A没有意义。

实现(c++)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#define MAX_HEIGHT 20000005
int cow_height[25];
bool f[MAX_HEIGHT];
int max(int a, int b){
	return a > b ? a : b;
}
int main(){
	int n, b_height, total_height = 0, max_height = 0;
	while (scanf("%d %d", &n, &b_height) != EOF){
		total_height = 0, max_height = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++){
			scanf("%d", cow_height + i);
			total_height += cow_height[i];
			max_height = max(max_height, cow_height[i]);
		}
		int m = max_height + b_height;
		for (int i = 0; i <= m; i++){
			f[i] = false;
		}
		f[0] = true;
		f[cow_height[0]] = true;
		for (int i = 1; i < n; i++){
			for (int w = m; w >= cow_height[i]; w--){
				f[w] = f[w] || f[w - cow_height[i]];
			}
		}
		for (int i = b_height; i < m; i++){
			if (f[i]){
				printf("%d\n", i - b_height);
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}