poj_1037 动态规划+字典序第k大

题目大意

    给定n个数字，规定一种 cute 排序：序列中的数字大小为严格的波浪形，即 a[0] > a[1] < a[2] > a[3] < .... 或者 a[0] < a[1] > a[2] < a[3] .....。对于N个数字来说，可以构成多个cute序列，这些序列按照字典序进行排序，求出第k个序列。

题目分析

一、求字典序的第i个排列

    直接一位一位枚举答案！从前到后枚举求得每一位：枚举一位时，计算在这样的前缀下，后面的总的排列数。如果严格小于总编号，则该位偏小，换更大的数，同时更新总编号；若大于等于，则该位恰好，枚举下一位，总编号不用更新。

二、使用动态规划

    由于题目要求按照字典序的第k个cute序列，因此我们需要在字典序中，n个数字构成的cute序列以第i大为开头的有多少个。这样一个计数问题，有子结构 + 无后效性（需要进一步证明）， 因此考虑使用动态规划。
    一般使用动态规划来解决问题需要问题满足几个条件： 
（1）可以划分子问题，子问题与总问题相似 
（2）无后效性 
    由n个数字构成的cute序列（波浪形序列）中，其连续的n-1个数字肯定也是cute序列； 
    无后效性，在设计状态，并用动归数组dp表示状态、推演状态的时候，需要保证当前点以后的状态只和当前点的状态有关，而与当前点是如何到达（未来的状态只和当前点的当前数值有关，和过去到当前点的路径的无关）。

     
     
    首先考虑 A[n] 表示n个数字构成的cute序列的总数，显然太粗糙，不知道n个数字之间的关系，无法进行状态推演； 
    然后考虑 A[n][i] 表示由n个数字构成的，且以n个数字中第i大为开头的cute序列的总数，这样来进行状态推演的时候，A[n][i] = sum-of(A[n-1][k])，选择哪些k，和i和k的大小关系有关，因此不能保证无后效性； 
    因此考虑使用 Up[n][i] 表示n个数字构成的，且以第i大为首的上升序列（a[1] > a[0])的个数；Down[n][i]表示n个数字构成的，以第i大为首的下降序列(a[1] < a[0])的个数，这样，就有递推关系：

    for (int k = i; k <= m - 1; k++){
    Up[m][i] += Down[m - 1][k];
    }
    for (int k = 1; k < i; k++){
    Down[m][i] += Up[m - 1][k];
    }

 

实现 (c++)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
using namespace std;
#define MAX_COL_NUM 22
long long int Up[MAX_COL_NUM][MAX_COL_NUM];
long long int Down[MAX_COL_NUM][MAX_COL_NUM];

int main(){
	int T, N;
	long long int C;
	scanf("%d", &T);

	//用动态规划，先求出dp数组。
	//Up表示开始是上升（即A[1] > A[0]) 的波浪数组， Down表示开始是下降的波浪数组
	//Up[n][i] 表示有n个数组成的序列，将第i大的数作为第一位的上升序列的个数
	//Down[n][i] 表示由n个数组成的序列，将第i大的数作为第一位的下降序列个数
	memset(Up, 0, sizeof(Up));
	memset(Down, 0, sizeof(Down));

	Up[1][1] = 1;
	Down[1][1] = 1;
	for (int m = 1; m <= MAX_COL_NUM - 1; m++){
		for (int i = 1; i <= m; i++){
			for (int k = i; k <= m - 1; k++){
				Up[m][i] += Down[m - 1][k];
			}
			for (int k = 1; k < i; k++){
				Down[m][i] += Up[m - 1][k];
			}
		}
	}


	while (T--){
		scanf("%d %llu", &N, &C);
		
		//候选序号，存放在vector中，便于删除
		vector<int> candidates;
		candidates.push_back(0);
		for (int m = 1; m <= N; m++){
			candidates.push_back(m);
		}

		
		int result[MAX_COL_NUM];	//存放最后求出的序列
		int n = N;
		long long int left = C;

		//字典序第k大的序列
		int next_dir = 2;	//下一次选用的首数字和第二个数字构成上升还是下降序列，由之前序列的趋势决定
							//0, 下降； 1上升； 2 both
							//开始设为2，表示总序列的第一个和第二个之间的关系不明确
		while (n >= 1){
			int k = 1;
			//n 表示，此次循环是在n个数中选择
			//k 表示，此次选择n个数的第k大（这n个数放在 vector candidate中）去构成序列
			while (k <= n){				
				if (next_dir == 0 && candidates[k] > result[N-n-1]){
					if (left > Down[n][k]){
						left -= Down[n][k];
					}
					else{
						break;
					}
				}

				if (next_dir == 1 && candidates[k] < result[N-n-1]){
					if (left > Up[n][k]){
						left -= Up[n][k];
					}
					else{
						break;
					}
				}
				
				if (next_dir == 2){
					if (left > (Up[n][k] + Down[n][k])){
						left -= (Up[n][k] + Down[n][k]);
					}
					else{
						break;
					}
				}
				k++;
			}
			if (k > n)
				k = n;
			result[N - n] = candidates[k];

			next_dir = ! next_dir;		//波浪形数组，方向取反
				
			//当选择出来第一个数字之后，可以根据 left (剩余的序号）以及 Down[n][k](以选择出来的数字为开头的下降序列的个数 ) 决定
			//如果 剩余的序号 小于等于 以选择出来的数字为开头的下降序列总数，则说明 第一个数字和第二个数字为下降，之后的next_dir 为上升
			//否则，为下降
			if (n == N){
				if (left <= Down[n][k])
					next_dir = 1;
				else{
					left -= Down[n][k];
					next_dir = 0;
				}
					
			}
			
			//从候选数组中删除已经选择出来的那个数
			candidates.erase(candidates.begin() + k);
			n --;
		}
		for (int i = 0; i < N; i++){
			printf("%d ", result[i]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}