非旋转Treap
Treap是一种平衡二叉树，同时也是一个堆。它既具有二叉查找树的性质，也具有堆的性质。在对数据的查找、插入、删除、求第k大等操作上具有期望O(log2n)的复杂度。
Treap可以通过节点的旋转来实现其维持平衡的操作，详见旋转式Treap. 而旋转式Treap在对区间数据的操作上无能为力，这就需要非旋转式Treap来解决这些区间问题。
非旋转式Treap支持的操作
基本操作：
| 操作 | 说明 | 实现复杂度 |
|---|---|---|
| Build | 构造Treap | O(n) |
| Merge | 合并Treap | O(log2n) |
| Split | 拆分Treap | O(log2n) |
| NewNode | 新建节点 | O(1) |
可支持操作：
| 操作 | 说明（实现） | 实现复杂度 |
|---|---|---|
| Insert | NewNode + Merge | O(log2n) |
| Delete | Split + Split + Merge | O(log2n) |
| FindKth | Split + Split | O(log2n) |
| Query | Split + Split | O(log2n) |
| Cover | Split + Split + Merge | O(log2n) |
基本操作
1. Build
类似于笛卡尔树的构造（详细见笛卡尔树)，非旋转式Treap也可以通过与栈的集合来达到平摊O(n)的复杂度。具体为：
(1) 通过快排等排序手段对原始数据序列进行排序，这主要是为了使Treap满足二叉查找特性
(2) 当前Treap中的从根开始的右子节点、右子节点的右子节点...链上的所有节点push到一个栈中，栈底为根节点
(3) 对排序后的序列，从头开始，执行：
(3.1) 生成一个新的Treap节点，节点中会有随机生成的priority值用来实现堆的结构
(3.2) 从栈顶向栈底查找，同时栈顶元素出栈，直到栈顶元素的priority小于当前节点的priority，记录下当前栈顶节点为P
(3.3) 将P之前出栈的那个节点置为待插入节点的左子结点，同时将待插入节点置为P的右子节点，再将带插入节点入栈
2. Merge
类似于左倾堆的Merge操作，可以在O(log2n)的时间复杂度内完成Merge操作。具体为：
(1) 如果一个Treap为空，则返回另外的Treap
(2) 如果选择两个Treap中堆顶元素的priority值最小为的堆，“较小堆”的堆顶成为新堆的堆顶，然后递归调用 Merge，对较小堆的堆顶元素的右子节点和较大堆进行合并操作，并将返回的结果置为“较小堆”堆顶元素的右子节点
(3) 对新堆的顶点进行维护，即维护堆顶节点的size等信息
3. Split
对于一个Treap，按照他的第k位进行拆分，则可以按照类似快排算法寻找第k大元素的步骤，返回结果为一个pair，即最大元素为全局第k大的子树根节点和最小元素为全局第k+1大的子树根节点构成的pair。具体为：
(1) 若当前节点x的左子树中的size大于等于k，则进入左子树进行拆分，返回结果y（为一个pair）。
(1.1) 然后将第k+1大及其之后的节点构成的子树挂在到x的左子树上。即将x的左子结点置为y的second，然后更新x节点的size等信息。
(1.2) 然后将y的second指向x节点，即最小元素为全局第k+1大的子树的根节点
(2) 若当前节点x的左子树的size小于k，则进入右子树进行拆分，返回结果y
(2.1) 然后将第k大及其之前的节点构成的子树挂在到x的右子树上。即将x的右子节点置为y的first，然后更新x节点的size信息。
(2.2) 然后将y的first指向x节点，即最大元素为全局第k大的子树的根节点
(3) 返回y
实现(c++)
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX_NUM 100
struct TreapNode{
int key;
int priority;
int size;
TreapNode* left;
TreapNode* right;
TreapNode(int k){
key = k;
size = 1;
priority = rand();
left = right = NULL;
}
void Update(){
size = 1;
if (left)
size += left->size;
if (right)
size += right->size;
}
};
int GetSize(TreapNode* node){
if (node)
return node->size;
return 0;
}
void Build(int *arr, int n){
sort(arr, arr + n); //先进行排序
TreapNode* stack[MAX_NUM];
TreapNode* last;
int p = 0;
TreapNode* new_node;
for (int i = 0; i < n; i++){
last = NULL;
new_node = new TreapNode(arr[i]);
//直到栈为空，或者栈顶元素priority小于当前节点的priority
while (p && stack[p]->priority > new_node->priority){
last = stack[p--];
}
stack[p]->right = new_node; //新节点作为p的右子节点
new_node->left = last; //前一次出栈的节点作为 新节点的左子结点
stack[++p] = new_node; //新插入元素入栈
}
}
TreapNode* Merge(TreapNode* treap1, TreapNode* treap2){
if (!treap1)
return treap2;
if (!treap2)
return treap1;
if (treap1->priority < treap2->priority){
treap1->right = Merge(treap1->right, treap2);
treap1->Update();
return treap1;
}
else{
treap2->left = Merge(treap1, treap2->left);
treap2->Update();
return treap2;
}
}
typedef pair<TreapNode*, TreapNode*> TreapPair;
TreapPair Split(TreapNode* treap, int k){
if (!treap){
return TreapPair(NULL, NULL);
}
TreapPair result;
if (treap->left->size >= k){
result = Split(treap->left, k);
treap->left = result.second;
treap->Update();
result.second = treap;
}
else{
result = Split(treap->right, k - treap->left->size - 1);
treap->right = result.first;
treap->Update();
result.first = treap;
}
return result;
}
//注意为treapNode指针引用
int FindKth(TreapNode*& treap, int k){
TreapPair x = Split(treap, k - 1);
TreapPair y = Split(x.second, 1);
int result = y.first->key;
treap = Merge(x.first, y.first);
treap = Merge(treap, y.second);
}
//询问一个数是第几大
int GetKth(TreapNode* treap, int v){
if (!treap)
return 0;
if (v < treap->key)
return GetKth(treap->left, v);
else
return GetKth(treap->right, v) + GetSize(treap->left) + 1;
}
void Insert(TreapNode*& treap, int v){
int k = GetKth(treap, v);
TreapPair result = Split(treap, k);
TreapNode* new_treap = new TreapNode(v);
treap = Merge(result.first, new_treap);
treap = Merge(treap, result.second);
}
void Delete(TreapNode*& treap, int k){
TreapPair x = Split(treap, k - 1);
TreapPair y = Split(x.second, 1);
treap = Merge(x.first, y.second);
}
