AVL 平衡树
AVL是一种平衡二叉树，它通过对二叉搜索树中的节点进行旋转使得二叉搜索树达到平衡。AVL在所有的平衡二叉搜索树中具有最高的平衡性。
定义
平衡二叉树或者为空树或者为满足如下性质的二叉搜索树:
- 左右子树的高度之差绝对值不超过1
- 左右子树仍然为平衡二叉树
定义平衡因子 BF(x) = x的左子树高度 - x的右子树的高度。平衡二叉树的每个节点的平衡因子只能为-1， 0， 1.
维持平衡思想
若二叉树当前为平衡状态，此时插入/删除一个新的节点，此时有可能造成二叉树不满足平衡条件，此时需要通过对节点进行旋转来使得二叉树达到平衡状态。从被插入/删除的节点开始向上查找，找到第一个不满足 |BF| <= 1的祖先节点P，此时对P和P的子节点（或P的子节点的子节点)进行旋转（可能分为下面的四种情况）。
旋转
(1)LL型平衡旋转法
由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。 即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。 
(2)RR型平衡旋转法
由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。 
(3)LR型平衡旋转法
由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型，再按LL型处理。 
如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为LL型，再按LL型处理成平衡型。
(4)RL型平衡旋转法
由于在A的右孩子C的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先顺时针，后逆时针），即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置，然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为RR型，再按RR型处理。 
如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为RR型，再按RR型处理成平衡型。
实现(c++)
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX(a, b) a > b? a:b
struct TreeNode{
int data;
TreeNode* child[2];
int size;
int height;
int count;
TreeNode(int val){
data = val;
size = count = height = 1;
child[0] = child[1] = NULL;
}
void Update(){
size = count;
height = 1;
if (child[0]){
size += child[0]->size;
height = MAX(height, 1 + child[0]->height);
}
if (child[1]){
size += child[1]->size;
height = MAX(height, 1 + child[1]->height);
}
}
};
struct AVL{
TreeNode* root;
AVL() :root(NULL){};
int GetHeight(TreeNode* node){
if (!node)
return 0;
return node->height;
}
int GetSize(TreeNode* node){
if (!node)
return 0;
return node->size;
}
//注意这里使用指针的引用
void Rotate(TreeNode*& node, int dir){
TreeNode* ch = node->child[dir];
node->child[dir] = ch->child[!dir];
ch->child[!dir] = node;
node->Update();
node = ch;
}
void Maintain(TreeNode*& node){
if (!node){
return;
}
int bf = GetHeight(node->child[0]) - GetHeight(node->child[1]);
if (bf >= -1 && bf <= 1){
return;
}
if (bf == 2){
int bf2 = GetHeight(node->child[0]->child[0]) - GetHeight(node->child[0]->child[1]);
if (bf2 == 1){ //左左旋转
Rotate(node, 0);
}
else if (bf2 == -1){ //左右旋转
Rotate(node->child[0], 1);
Rotate(node, 0);
}
}
else if (bf == -2){
int bf2 = GetHeight(node->child[1]->child[0]) - GetHeight(node->child[1]->child[1]);
if (bf2 == 1){ //右左旋转
Rotate(node, 1);
}
else if (bf2 == -1){ //右右旋转
Rotate(node->child[1], 0);
Rotate(node, 1);
}
}
}
void Insert(TreeNode*& node, int val){
if (!node){
node = new TreeNode(val);
}
else if (node->data == val){
node->count++;
}
else{
int dir = node->data < val;
Insert(node->child[dir], val);
}
//维持树的平衡
Maintain(node);
//更新节点
node->Update();
}
//注意参数为指针的引用
void Delete(TreeNode*& node, int val){
if (!node){
return;
}else if (node->data == val){
if (node->child[0] && node->child[1]){
int dir = GetHeight(node->child[0]) < GetHeight(node->child[1]);
//将子树中较高的那棵，旋转
Rotate(node, dir);
//递归调用delete，直到叶子节点才进行真正的删除
Delete(node->child[! dir], val);
}
else{
TreeNode* tmp_node = NULL;
if (node->child[0]){
tmp_node = node->child[0];
}
else if (node->child[1]){
tmp_node = node->child[1];
}
delete node;
node = tmp_node; //使用引用
}
}
else{
int dir = node->data < val;
Delete(node->child[dir], val);
}
Maintain(node); //维持平衡
node->Update(); //更新节点
}
int GetKth(TreeNode* node, int k){
while (node){
if (! node->child[0]){
if (k <= node->count){
return node->data;
}
else{
k -= node->count;
node = node->child[1];
}
}
else{
if (node->child[0]->size < k && node->child[0]->size + node->count >= k){
return node->data;
}
else if (node->child[0]->size > k){
node = node->child[0];
}
else{
k -= (node->child[0]->size + node->count);
node = node->child[1];
}
}
}
return -1;
}
};
