IOI2020国家集训队作业 做题记录

约定

• 【码】：标记为该题码量大，考验码力。
• 【S】：字符串题。
• 【D】：数据结构题。

IOI2020国家集训队作业 Part 1

1. CF504E Misha and LCP on Tree【码】【S】：
   tags：哈希，二分。
   序列上的套路拉到树上。运用哈希的可加减乘除性，可以二分 LCP 长度。
   放到树上一样，维护每个点到根的正向和逆向的哈希值，询问时二分 LCP 长度，从起点开始跳长度，跳到当前 LCP 结尾，计算哈希。为了每次 O(1) 求 LCP 结尾，需要长链剖分预处理还有使用 O(1) LCA。理论上 CF 的应该使用双哈希，但是双哈希常数太大。
   8 秒，但我的常数的确挺大。My Submission.

2. CF505E Mr. Kitayuta vs. Bamboos：
   tags：二分，堆。
   小清新二分答案题。这就是 CF *2900 吗。
   看到问法思考二分做法，发现正着推考虑不是不可，但是高度不为负导致了挺多限制。考虑优化 check 做法。
   然后正难则反，考虑时间倒流，限制变为：初始高度 mid，每天降低 a[i]，过程中高度不能小于 0，每天可以拔高 p 高度 k 次，最终高度大于等于 h[i]。因为高度不同优先级不同所以使用堆维护。然后我写了一个做法：每次从堆里面取高度最小的出来，若无法减去 a[i]，则拔高它。显然假掉就不说了，这本质实际上回到了贪心做法，可能造成若干个堆到一天的局面。所以我们一天一天判，每天（k 次机会全用显然最优）取队头 k 次，拔高，看是否能够满足限制，不能再放回去。这样就不是贪心，可过了，复杂度 $O((n+mk)\log n\log (\underset{i\in [1,n]}{max}{h}_i+m\times a[i]))$。
   2 秒，436ms。My Submission.

3. CF566C Logistical Questions：
   tags：点分治，数学。
   很清新的一道树上数学题。不得不说挺偏的而且做过基本这类套路都看得出来了。
   考虑答案重心具有什么性质：从重心开始不论往哪个方向走，路径和必然更大。所以考虑每次往某个点走是否更优。但若每一次对所有儿子计算一遍路径和是 O(n^2) 的，考虑求导优化式子。求导后即可 O(n) 计算每一次往哪个点最优。注意求导时是复合函数一次套幂函数，所以加要变减。但直接跑仍然是 O(n^2) 的，所以使用点分治优化，最终 O(n log n)。
   2 秒，我跑了 529ms。My Submission.

4. CF603E Pastoral Oddities【D】：
   tags：整体二分，线段树分治，LCT。
   算是经典加边题型了。
   手玩推出度数全奇的等价条件：图中仅偶数个点。充分显然，必要易构造。看到问法：最小化最大边权。显然 Kruskal 排序，静态做法显然。考虑动态加边（这时候可直接上 LCT），发现答案单调。由答案单调可发现：一条边的“有用”时间段是固定的；可整体二分。对于第一个结论，我们可以找到每条边“有用”的时间段然后线段树分治；对于第二个，直接可撤销并查集维护整体二分。
   所以共三解：LCT、线段树分治、整体二分。后者复杂度 O(m log m log n)。
   4 秒，跑了 483 ms。My Submission.