【P1654】OSU! 题解（期望 dp）

期望 dp。

LG 传送门

自己的做法时间上过不去，且没有运用期望的优越性。

Solution

重新梳理一下思路。

首先一定要注意，求的是期望！而不是单纯的总权值。

那么对这道题，我们可以转化为：$f_i$ 表示，经过这一位之后，期望总分数增加了多少期望分。

即，若假定所求答案为 $an{s}_i$，输出答案为 $an{s}_n$，那么 $f_i=an{s}_i-an{s}_{i-1}$。

那么，我们显然有 $p_i$ 的概率，让 $an{s}_{i-1}$ 加上某个值；

有 $1-p_i$ 的概率，让 $an{s}_{i-1}$ 什么也不加。

考虑第一种情况。

我们会加上多少值呢？通过大力拆分，我们拆分 $(x+1{)}^3-x^3$，得到一个二次三项式。

若当前填入 $1$，则会比上一个答案多了 $3x^2+3x+1$。

有那么多种情况，如何确定 $x$ 的值是多少呢？

这时候求期望的优越性就体现出来了。若把期望感性理解为平均值，那么我只需要线性维护 $x^2$ 和 $x$ 的期望（平均）值即可。

线性维护 $x^2$ 和 $x$ 的过程，可以理解为此题的弱化版。

综上，$f_i=0\times (1-p_i)+(3x^2+3x+1)\times p_i$。

那么最后 $an{s}_n=\sum _{i=1}^n{f}_i$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; ++i)
const int maxn = 1e5 + 5;
typedef double db;
int n;
db p[maxn], x1[maxn], x2[maxn], f[maxn];
db ans;

int main(){
	scanf("%d", &n);
	rep(i, 1, n) scanf("%lf", &p[i]);
	rep(i, 1, n){
		x1[i] = (x1[i - 1] + 1) * p[i];
		x2[i] = (x2[i - 1] + 2 * x1[i - 1] + 1) * p[i];
		f[i] = (3 * x2[i - 1] + 3 * x1[i - 1] + 1) * p[i];
	}
	rep(i, 1, n) ans += f[i];
	return printf("%.1lf", ans), 0;
} 

---

Thanks for reading.