【HAOI2006】数字序列 题解 （朴素 dp + 转移问题）

洛谷传送门

朴素 dp（$O(n\log n)$ 求最长不下降子序列）。

Solution

第一问

第一反应不难想到：这不就是求原序列的最长单增子序列长度吗？拿 $n$ 减去它就是答案了啊？

但是，题目要求是要将原序列改为严格单增序列，这导致像 $1653117$ 这种序列，我们至少需要改 $2$ 个数，而不是 $3-2=1$个数。

一般地，假设我们最终能保留下来的序列为 $a^{\prime }$，那么其中相邻的两项 $i$ 和 $j$（这两个值在 $a^{\prime }$ 中是相邻两项，但在原序列 $a$ 中不一定相邻），必定满足：$a_j-a_i\ge j-i$（能保证原序列中它俩之间的数都可以改成合法的）。

移项，不妨设 $b_i=a_i-i(i\in [1,n])$，上述不等式即转化为 $b_j\ge b_i$。

所以答案就变为求 $b$ 序列的最长不下降子序列了。

然后此题使用的是二分求最长不下降子序列，时复 $O(n\log n)$。

第二问

接着就考虑对于 $a^{\prime }$ 中的相邻两项 $i$ 和 $j$，如何将序列 $a_i,a_{i+1}\cdots a_j$ 改为严格单增的合法序列。

发现对 $a$ 直接考虑有些难以下手，故考虑将 $b$ 序列改为不减序列。

（接下来的图片 & 动图均来自@学委）

这是一种合法的调整方案，即将 $b$ 序列改为不减序列的方案。红色是 $b$ 中原来的项，黑线是更改后的值，将它具象成高度看待。

然后有一种更改方案是这样的：

然后就直接放学委的题解了（

所以第二问做一个简单转移即可。

不过代码实现的时候注意为了处理到整个序列，我们要添加一个 $n+1$ 项等等。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long 
#define rep(i, a, b) for(register int i = a; i <= b; ++i)
#define per(i, a, b) for(register int i = a; i >= b; --i)
const int maxn = 3.5e4, inf = 2147483647;
int n, a[maxn], b[maxn];
int mn[maxn], len[maxn], tot;
vector <int> s[maxn];
ll sl[maxn], sr[maxn], f[maxn];

int main(){ scanf("%d", &n);
	rep(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]), b[i] = a[i] - i;
	memset(f, 0x3f, sizeof f), s[0].push_back(0);
	f[0] = 0, b[n + 1] = inf, b[0] = -inf;
	rep(i, 1, n + 1){ int l = 0, r = tot;
		while(l < r){
			int mid = l + r + 1 >> 1;
			if(b[mn[mid]] <= b[i]) l = mid;
			else r = mid - 1;
		} if(l == tot) tot += 1;
		s[l + 1].push_back(i), mn[l + 1] = i, len[i] = l + 1;
	} printf("%d\n", n - tot + 1);
	rep(i, 1, n + 1){
		for(auto u : s[len[i] - 1]) if(u < i and b[u] <= b[i]){
			sl[u] = 0; 
			rep(j, u + 1, i) sl[j] = sl[j - 1] + abs(b[j] - b[u]);
			sr[i - 1] = 0;
			per(j, i - 2, u) sr[j] = sr[j + 1] + abs(b[j + 1] - b[i]);
			rep(j, u, i - 1) f[i] = min(f[i], f[u] + sl[j] + sr[j]);
		}
	} printf("%lld\n", f[n + 1]);
	return 0;
}

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感谢阅读。