数论 · 幂函数求导

前言

TC 讲课笔记。

正文

定义一个幂函数：$f(x)=a_1{x}^{b_1}+a_2{x}^{b_2}+\cdots +a_n{x}^{b_n}+C$。（$C$ 为常数。）

导数：反映一个函数的变化快慢。

• 对于一个一次函数：

  $f(x)=kx+b$，那么它的导数就是 $k$——$k$ 反应了这条直线上的点的变化快慢，$k$ 越大，$y$ 值的变化越大。

• 对于一个二次函数：

  由一次函数求导可知，对于我们要求导的、在二次函数上的点 $A(x_0,y_0)$，我们寻找一个点 $B(x,y)$，使 $x$ 无限接近 $x_0$，再套用一次函数中的方法，就可以得到点 $A$ 的导数：$k(x_0,y_0)=\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{y-y_0}{x-x_0}}$。

• 对于幂函数：

  直接记结论：对于一个幂函数 $f(x)=a_1{x}^{b_1}+a_2{x}^{b_2}+\cdots +a_n{x}^{b_n}+C$，其导数为 $f^{\prime }(x)=a_1{b}_1{x}^{b_1-1}+a_2{b}_2{x}^{b_2-1}+\cdots +a_n{b}_n{x}^{b_n-1}$。

  注意 $f^{\prime }(x)$ 非积性函数。