数论 · 最大公因数 + 裴蜀定理

1 最大公因数 gcd

$n=\prod p_i^{t{1}_i}m=\prod p_i^{t{2}^i}$

$\gcd (n,m)=\prod p_i^{\min (t{1}_i,t{2}_i)}$

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n, m;
 
inline int gcd (int a, int b)
{
    if (!a) return b;
    return gcd (b % a, a);
}
 
int main ()
{
    scanf ("%d %d", &n, &m);
    printf ("%d\n", gcd (n, m));
    return 0;
}

题目

Problem C: 「一本通 6.3 例 2」「NOIP2009」Hankson 的趣味题

Problem B: 「一本通 6.3 例 1」反素数 Antiprime

2 裴蜀定理

形式

基本形式

求解 $ax+by=c$。

模板题面

给定一个包含 $n$ 个元素的整数序列 $A$，记作$A_1$, $A_2$, $A_3$,$\cdots$, $A_n$。

求另一个包含 $n$ 个元素的待定整数序列 $X$,

记 $S=\sum _{i=1}^n{A}_i\times X_i$。

使得 $S>0$ 且 $S$ 尽可能小。

定理

求解 $ax+by=c$ 的充要条件是 $\gcd (a,b)|c$。

证明：

设 $s=\gcd (a,b)$，显然$s|a$，并且 $s|b$。

可以提取公因式得：$s\times (a^{\prime }x+b^{\prime }y)=c$。

由此可得，$s|c$。

模板题求解

对于输入的所有 $A_i$，我们取他们所有的 $gcd$ 即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m;
int ans;

inline int gcd (int a, int b)
{
	if (!a) return b;
	return gcd (b % a, a);
}

int main ()
{
	scanf ("%d", &n);
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf ("%d", &m);
		if (m < 0) m = -m;
		ans = gcd (ans, m);
	}
	printf ("%d\n", ans);	
	return 0;
}