数字游戏 (number)

一道十分毒瘤的模拟题。代码很短，推我花了二三十分钟。

数字游戏

传送门 - 数字游戏

Description

不高兴找到了一个 $N$ 行 $M$ 列的矩阵。

矩阵的第一行数字为 $1$ ， $2$ ， $3$ ，…， $M$ ；

第二行数字为 $M+1$ ， $M+2$ ，…， $2\ast M$ ；

…

第 $N$ 行数字为 $(N-1)\ast M+1$ ， $(N-1)\ast M+2$ ，…， $N\ast M$ 。

例如，对于 $N=3$ ，$M=4$：

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

当然这样的矩阵是无趣的，所以他选择了其中一行或一列，将其乘以非负数，会进行 $K$ 次。最后他想知道矩阵中所有值的总和。由于总和可能会很大，需要总和模 $10^9+7$ 。

---

Input

第一行三个正整数 $N$ ， $M$ ， $K$ 。

以下 $K$ 行中的每一行有两种描述：

• " $R$ $X$ $Y$ "， $R$ 表示行，即将第 $X$ ( 1 <= X <= N )行的所有数乘以 $Y$ ；

• " $S$ $X$ $Y$ "， $S$表示列，即将第 $X$ (1 <= $X$ <= $M$ )列的所有数乘以 $Y$ 。

Sample Input

3 4 4
R 2 4
S 4 1
R 3 2
R 2 0

---

Output

输出矩阵所有数的和，并模 $10^9+7$ 。

Sample Output

94

---

思路

一 概述

首先，对于每一行的整行和小列，我们分开处理，先列后行，且行和列的处理先后顺序对答案不产生影响。

然后，我们就可以用第一行来推出下面的所有行，所有数的和。

注意，以上两种思路是并行的，这也是为什么这道题如此恶心。

二 求第一行

对于第一行，就要处理我们刚刚分析到的，小列和小行。

首先，我们建立 2 个变量—— pre 和 sum 。

作用待会再说，先说说原因。

我们的目的，是用一行推出它的下一行。又因为它们是连续的，所以，我们可以得出 这一行的和 + 两行间的差 = 下一行的和。

而，所有行的和就是我们要求的。

则该式成立，我们接下来要求的，就是“这一行的和”以及“两行间的差”。回归我们刚刚建的变量， pre 代表的就是两行间的差 （请忽略这奇奇怪怪的变量名）， sum 代表的就是这一行的和。

---

• 求 pre ：

用样例给的数：（ n = 3 ， m = 4 ）

1 2 3 4

5 6 7 8

在没有进行操作的时候，第 2 行的第 i 个数 = 第 1 行的第 i 个数 + m 。这个很好理解。

那当我给第 1 列乘上 2 呢？该怎么求？

第 1 列就会变成：

2 ——> 10 。

很明显，两者的差就变成了 $m\times 2$ 。那么当我们把每一列（也就是一整行）的差都加起来就会变成 $(lzm[1]+lzm[2]+...+lzm[m])\ast m$ ，用了提取公因数。

我们不急于乘以 m ，那么 $pre=lzm[1]+lzm[2]+...+lzm[m]$ 。

（ lzm 是将每一列要乘的数都统计起来了，具体操作看代码。）

• 求 sum

sum 相对来说就好求多了（我们只需要求第一行的和且不考虑行要乘的数）。

第一行每一小列 i 的数为 $i\times lz{m}_i$ ，举例理解：

第一行第一列的数为： 1 ；

我们给第一列乘 2 ，则第一行第一列的数就会变为 $1\times 2$ 。

综上，把一整行的求 sum 操作综合起来就是：

$sum=1\times lz{m}_1+2\times lz{m}_2+\cdots +m\times lz{m}_m$ 。

---

回看这两个变量，我们都从 1 统计到了 m ，所以可以用 for 循环统计他们，就变成了：

	int sum, pre;
	sum = pre = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		pre = (pre + lzm[i]) % mod;
		sum = (sum + (i * lzm[i]) % mod) % mod;
	}

lzm 是统计每列要乘的数， lzn 是统计每行要乘的数。

同时，你会发现，我们“先列后行”的思想就体现出来了。

三 推出后面 $n-1$ 行

我们用 ans 统计总和（也就是最终的答案）。

我们现在已经：

• 统计了每两行之间的差（差值是固定的）；

• 算出了第一行乘完列之后的和（没有成行的数）。

首先对于第一行的 ans 值，易得它为 $sum\times lz{n}_1$ 。

而紧接着对于接下来的 2 到 n 行，对于每一行我们都会类比刚才的操作：

1. 求出 sum ：$sum\leftarrow sum+pre\times m$ （ $pre\times m$ 这一步操作我们之前已经说过了）；

2. 求出该行的和并加到 ans 去：对于第 i 行会有 $ans\leftarrow ans+sum\times lz{n}_i$ （类比第一行的 ans 值）。

就是这两步操作，是从 2 循环到 n ，具体实现就是：

	ans = (ans + (lzn[1] * sum) % mod) % mod;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{	
		sum = (sum + (pre * m) % mod) % mod;
		ans = (ans + (sum * lzn[i]) % mod) % mod;
	}

这样我们的答案 ans 也就统计出来了。

四 取模

一个小点被我拎出来讲了…

比赛我就是因为取模不正确而 WA 的啊！！！我的 50 pts …

不正确的取模：

	int sum, pre;
	sum = pre = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		pre = (pre + lzm[i]) % mod;
		sum = (sum + i * lzm[i]) % mod;
	}
	ans = (ans + lzn[1] * sum) % mod;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{	
		sum = (sum + pre * m) % mod;
		ans = (ans + sum * lzn[i]) % mod;
	}

（就拿这两步作实例，前面的不放了。）

每一步都要取模！！只要乘了就要取模！！

所以，正确的取模是：

	int sum, pre;
	sum = pre = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		pre = (pre + lzm[i]) % mod;
		sum = (sum + (i * lzm[i]) % mod) % mod;
	}
	ans = (ans + (lzn[1] * sum) % mod) % mod;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{	
		sum = (sum + (pre * m) % mod) % mod;
		ans = (ans + (sum * lzn[i]) % mod) % mod;
	}

---

最后只有 50 行的代码奉上（不用快读再压压行更少）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int mod = 1e9 + 7;
int n, m, k;
int ans = 0;
const int maxn = 1000005;
int lzn[maxn], lzm[maxn];

inline int read ()
{
	int x = 1, s = 0;
	char ch = getchar ();
	while (ch < '0' or ch > '9'){if (ch == '-') x = -1; ch = getchar ();}
	while (ch >= '0' and ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar ();}
	return x * s;
}

signed main ()
{
	n = read (), m = read (), k = read ();
	for (int i = 0; i <= max (n, m); i++) lzn[i] = lzm[i] = 1;
	while (k--)
	{
		char c[5];
		int x, y;
		scanf ("%s", c);
		x = read (), y = read ();
		if (c[0] == 'R') lzn[x] *= y;
		else if (c[0] == 'S') lzm[x] *= y;
		lzn[x] %= mod;
		lzm[x] %= mod;
	}
	int sum, pre;
	sum = pre = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		pre = (pre + lzm[i]) % mod;
		sum = (sum + (i * lzm[i]) % mod) % mod;
	}
	ans = (ans + (lzn[1] * sum) % mod) % mod;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{	
		sum = (sum + (pre * m) % mod) % mod;
		ans = (ans + (sum * lzn[i]) % mod) % mod;
	}
	printf ("%lld\n", ans % mod);
	return 0;
}

——$End$——