LTE Lemma
对于正整数 \(x\) 和素数 \(p\)，存在最大的整数 \(\alpha\) 使得
\[p^{\alpha}|x
\]
记这个 \(\alpha\) 为 \(v_p(x)\)。
\(\texttt{Theorem }\text{Lift the Exponent Lemma}\)
若 \(p\) 为奇素数，\(a\equiv b\not\equiv 0 \pmod p\)，\(n\) 是正整数，则
\[v_p(a^{n}-b^{n})=v_p(a-b)+v_p(n) \]若 \(p=2\)，\(a\equiv b\equiv 1\pmod p\)，\(n\) 是正整数，
如果 \(n\) 为奇数，则
\[v_2(a^n-b^n)=v_2(a-b) \]如果 \(n\) 为偶数，则
\[v_2(a^n-b^n)=v_2(a-b)+v_2(a+b)+v_2(n)-1 \]
证明咕一下。\(\square\)
$\texttt{Problem 1} $
若 \(p\) 是素数，\(k\) 是大于 \(1\) 的正整数，\(x\equiv 1 \pmod p\)，证明：
\[x^{p^{k-1}}\equiv 1 \mod p^{k} \]
\(p\) 为奇素数时：
\[v_{p}(x^{p^{k-1}}-1)=v_{p}(x-1)+v_{p}(p^{k-1})\ge 1+k-1=k
\]
\(p\) 为 \(2\) 时：
\[v_2(x^{2^{k-1}}-1)=v_2(x-1)+v_2(x+1)+v_2(2^{k-1})-1\ge 1+1+k-1-1=k
\]
\(\square\)
\(\texttt{Problem 2}\)
求所有的正整数 \(n\)，使得对任意奇数 \(a\)，均有 \(2^{2017}\) 整除 \(a^{n}-1\)。
若 \(n\) 为奇数，知 \(a^{n}\equiv 1 \mod 2^{2017}\) 等价于
\[v_2(a^{n}-1)=v_{2}(a-1) \ge 2017
\]
这显然无法对任意奇数 \(a\) 成立。
若 \(n\) 为偶数，知 \(a^{n}\equiv 1 \mod 2^{2017}\) 等价于
\[v_2(a^{n}-1)=v_2(a-1)+v_2(a+1)+v_2(n)-1\ge2017
\]
\(v_2(a-1)+v_2(a+1)\) 不小于 \(1+2\)，这个在 \(a=3\) 可以取到。因此等价于有
\[v_2(n)\ge 2015
\]
等价于 \(n\) 是 \(2^{2015}\) 的倍数。
\(\square\)
