平衡树乱讲

平衡树

这里讲 非旋Treap，FHQTreap

概述

FHQTreap 的思想基于分裂和合并。

存储的信息是：

\(ls\) 和 \(rs\) 左右儿子。

\(val\) 权值

\(siz\) 子树大小。

对于 Treap 比较独特的是 \(rd\)，实际上是一个随机优先级。

对于相同权值的不同的点，不会记录成一个点，故没有记录次数的 \(cnt\)。

函数

push

更新答案，子树大小为左右儿子大小 + 1。

void push(int x){siz[x] = siz[ls[x]]+siz[rs[x]]+1;}

split

分裂，这里按照权值 \(val\) 分裂。

具体地，给定一个 \(v\)，要将原本的平衡树 \(T\) 分裂成 \(T_x\) 和 \(T_y\) 两棵。

对于任意 \(i \in T_x\) 和 \(j \in T_y\) 都有 \(val_i < v < val_j\)。

满足平衡的性质。

如果 \(val_p < v\) 那么 \(p\) 应当属于 \(T_x\) 中。那么应该向右递归。

反则向左递归。

类似二分的思想，通过左右递归，等效于二分中的 \(mid = r\) 或 \(mid = l\)。

递归边界：\(p=0\) 也就是找到最终的位置了。

void split(int p,int v,int &x,int &y){
    if(!p) {
        x=y=0;
        return ;
    }if(val[p] <= v) split(rs[p],v,rs[x=p],y);
    else split(ls[p],v,x,ls[y=p]);
    push(p);
}

merge

合并，是对于 split 相反的一种操作。

对于两棵平衡树 \(T_x\) 和 \(T_y\) 要将他们合并。

对于任意 \(i \in T_x\) 和 \(j \in T_y\)：

根据定义，都有 \(val_i < val_j\)。

在此，要生成随机数，也就是 \(rd\)。

如果 \(rd_x > rd_y\) 那么前者优先级更高，也就是 \(x\) 作为 \(y\) 的父节点。

再对于 \(val\) 进行比较，判断其属于左儿子还是右儿子。

例：如果 \(val_x < val_y\) 那么 \(y\) 是 \(x\) 的右儿子。

直接调用 \(merge(rs_x,y)\) 即可。

小于同理。

如果 \(x\) 和 \(y\) 有一个为空，

那么返回他们其中一个，直接 \(x \ or \ y\) 即可。

int merge(int x,int y){
        if(!x||!y)return x|y;
        if(rd[x]<rd[y]){
            ls[y]=merge(x,ls[y]),push(y);
            return y;
        }
        rs[x]=merge(rs[x],y),push(x);
        return x;
    }

new node

新建节点。

int nd(int v){
        int x=++node;
        val[x]=v;
        rd[x]=rand();
        siz[x]=1;
        return x;
    }

insert

插入。

插入一个 \(v\)，先将 \(val_i < v\) 的 \(i\) 分到 \(T_x\) 中。

反之分到 \(T_y\) 中。

再重新设定 root 即可。

void insert(int v){
        int x=0,y=0;
        split(R,v-1,x,y);
        R=merge(merge(x,nd(v)),y);
    }

del

删除。

删除一个 \(v\)。首先按照 \(v\) 把 \(T\) 分裂成 \(T_x\) 和 \(T_z\)。

再按照 \(v-1\) 把 \(T_x\) 分成 \(T_x\) 和 \(T_y\)。

因此此时 \(T_y\) 的权值都是 \(v\)。

但是只能删除一个。

所以直接删除 \(T_y\) 的根。

把它的左右子树合并起来。

再与 \(T_x\) 和 \(T_z\) 合并起来即可。

void del(int v){
        int x=0,y=0,z=0;
        split(R,v,x,z),split(x,v-1,x,y);
        R=merge(merge(x,y=merge(ls[y],rs[y])),z);
    }

kth

第 k 大。

当前遍历到 \(p\)。

若 \(k \le siz_ls_p\)。递归左儿子。

若 \(k=sz_ls_p + 1\)，返回 \(val_p\)。

否则，递归右儿子。

int kth(int k){
        int p=R;
        while(true){
            if(k<=siz[ls[p]])p=ls[p];
            else if(k==siz[ls[p]]+1)return val[p];
            else k-=siz[ls[p]]+1,p=rs[p];
        }
    }

pre

前驱。

先用 \(v-1\) 分裂成 \(T_x\) 和 \(T_y\)。

所以找到 \(T_x\) 中的最大值即可。

int pre(int v){
        int p=R,ans=0;
        while(true){
            if(!p) return ans;
            else if(v<=val[p])p=ls[p];
            else ans=val[p],p=rs[p];
        }
    }

sec

后继。

同理前驱。

int suc(int v){
        int p=R,ans=0;
        while(true){
            if(!p) return ans;
            else if(v>=val[p])p=rs[p];
            else ans=val[p],p=ls[p];
        }
    }

rank

排名。

查询 \(v\) 排名。

按 \(v-1\) 分裂。

分裂成 \(T_x\) 和 \(T_y\)。

答案为 \(siz_x + 1\)。

最后再合并。

int rnk(int v){
        int x=0,y=0,ans=0;
        split(R,v-1,x,y);ans=siz[x]+1;
        return R=merge(x,y),ans;
    }

Code

namespace FHQTreap{
    int R,node,ls[N],rs[N],val[N],rd[N],siz[N];
    void push(int x){siz[x] = siz[ls[x]]+siz[rs[x]]+1;}
    void split(int p,int v,int &x,int &y){
        if(!p) {
            x=y=0;
            return ;
        }if(val[p] <= v) split(rs[p],v,rs[x=p],y);
        else split(ls[p],v,x,ls[y=p]);
        push(p);
    }int merge(int x,int y){
        if(!x||!y)return x|y;
        if(rd[x]<rd[y]){
            ls[y]=merge(x,ls[y]),push(y);
            return y;
        }
        rs[x]=merge(rs[x],y),push(x);
        return x;
    }int nd(int v){
        int x=++node;
        val[x]=v;
        rd[x]=rand();
        siz[x]=1;
        return x;
    }void insert(int v){
        int x=0,y=0;
        split(R,v-1,x,y);
        R=merge(merge(x,nd(v)),y);
    }void del(int v){
        int x=0,y=0,z=0;
        split(R,v,x,z),split(x,v-1,x,y);
        R=merge(merge(x,y=merge(ls[y],rs[y])),z);
    }int kth(int k){
        int p=R;
        while(true){
            if(k<=siz[ls[p]])p=ls[p];
            else if(k==siz[ls[p]]+1)return val[p];
            else k-=siz[ls[p]]+1,p=rs[p];
        }
    }int pre(int v){
        int p=R,ans=0;
        while(true){
            if(!p) return ans;
            else if(v<=val[p])p=ls[p];
            else ans=val[p],p=rs[p];
        }
    }int suc(int v){
        int p=R,ans=0;
        while(true){
            if(!p) return ans;
            else if(v>=val[p])p=rs[p];
            else ans=val[p],p=ls[p];
        }
    }int rnk(int v){
        int x=0,y=0,ans=0;
        split(R,v-1,x,y);ans=siz[x]+1;
        return R=merge(x,y),ans;
    }
}using namespace FHQTreap;