CDQ分治

合集 - 知识点讲解(9)

1.详讲网络流2024-01-132.数论基础2023-12-013.数据结构2023-11-244.图论算法2023-11-245.博弈论2023-12-156.杂算法2023-12-087.莫队与分块学习笔记2024-03-048.模拟退火学习笔记2024-03-06

9.CDQ分治2024-04-24

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CDQ分治

它是一种非常巧妙地方法。

用分治的思想处理三维偏序一类的问题：

处理的问题如下：模板

有 $n$ 个元素，第 $i$ 个元素有 $a_i,b_i,c_i$ 三个属性，设 $f(i)$ 表示满足 $a_j\le a_i$ 且 $b_j\le b_i$ 且 $c_j\le c_i$ 且 $j\ne i$ 的 $j$ 的数量。

对于 $d\in [0,n)$ ，求 $f(i)=d$ 的数量。

也就是对于每一个三元组 $i$ 看有多少个完全小于他的三元组 $j$。

数据范围 $n\le 2\times {10}^5$。

显然暴力会不过去。

只能考虑一些 $n\log n$ 或 $n{\log }^{2}n$ 的做法。

首先，先把第一维排序了。

这样，只用考虑 $b_i$ 与 $c_i$ 了。

那我们考虑如何处理 $b_i$。

类似归并的方法，分而治之，分治。就是对于 $[l,r]$ 的子区间我们先处理 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 两个区间，然后将其 $O(r-l)$ 的时间复杂度合并。很简单的策略，分别在两个子区间内放两个指针，那边小就加入那边，因为如果 $A_i$ 他是比 $B_j$ 小的，那么 $A$ 目前也排序了，所以也是 $A$ 中最小的，也就是 $A$ 和 $B$ 合并后最小的，因此直接判断然后去加即可。

这样，$b_i$ 也处理好了，我们就可以用树状数组维护一下 $c_i$ 的数量，然后就可以求出此时比 $c_i$ 小的 $c_j$ 有多少个，由于在线处理，所以说，之前出现的 $a_i$ 和 $b_i$ 都是应该符合小于现在的这个三元组的。

于是，在线（边跑边记录）处理完之后，再依次输出答案。

int n,k,m;
struct node{int a,b,c;};
struct data{node a;int cnt,ans;};
node a[N];
struct data b[N];
int t[N<<1];
void add(int x,int val){while(x<=k)t[x]+=val,x+=(x&-x);}
int query(int x){int res=0;while(x)res+=t[x],x-=(x&-x);return res;}
bool node_cmp(node a,node b){
	if(a.a != b.a) return a.a<b.a;
	if(a.b != b.b) return a.b<b.b;
	return a.c<b.c;
}bool data_cmp(struct data a,struct data b){
	if(a.a.b != b.a.b) return a.a.b<b.a.b;
	return a.a.c<b.a.c;
}void cdq(int l,int r){
	if(l==r)return ;
	int mid=(l+r)>>1,x=l;
	cdq(l,mid),cdq(mid+1,r);
	sort(b+l,b+1+mid,data_cmp),sort(b+1+mid,b+1+r,data_cmp);
	For(i,mid+1,r){
		while(x<=mid&&b[x].a.b<=b[i].a.b) add(b[x].a.c,b[x].cnt),x++;
		b[i].ans+=query(b[i].a.c);
	}For(i,l,x-1){
		add(b[i].a.c,-b[i].cnt);//清空还原操作
	}
}int ans[N];
void solve(){
	cin>>n>>k;
	For(i,1,n)cin>>a[i].a>>a[i].b>>a[i].c;
	sort(a+1,a+1+n,node_cmp);
	For(i,1,n){
		if(a[i].a!=a[i-1].a||a[i].b!=a[i-1].b||a[i].c!=a[i-1].c) b[++m].a=a[i];
		b[m].cnt++;	
	}
	cdq(1,m);
	For(i,1,m)ans[b[i].ans+b[i].cnt]+=b[i].cnt;
	For(i,1,n)cout<<ans[i]<<endl;
}

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本文作者：gsczl71
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