详讲网络流

网络流的概念及定义

在一个有向图上选择一个源点，一个汇点，每一条边上都有一个流量上限（以下称为容量），

即经过这条边的流量不能超过这个上界，同时，除源点和汇点外，所有点的入流和出流都相等，

而源点只有流出的流，汇点只有汇入的流。这样的图叫做网络流。

• 源点： 有 \(n\) 个点，有 \(m\) 条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做 源点。

• 汇点：另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点。

• 容量和流量 ：每条有向边上有两个量，容量和流量，从 \(i\) 到 \(j\) 的容量通常用 \(c_{i,j}\) 表示,流量则通常是 \(f_{i,j}\)。通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，\(f_{i,j} \le c_{i,j}\)。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有“进入”他们的流量和等于所有从他本身“出去”的流量。

• 最大流：把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制。

最大流

下文会提及 Ford-Fulkerson， EK，dinic 两种算法来解决。

Ford-Fulkerson 增广路算法

利用求增广路径来求最大流。实际上相当于非常暴力的求解。时间复杂度为 \(O(m f)\)，\(f\) 为最大流数量。根 EK 算法比较类似，使用dfs实现，不多讲，还是看 Ek 更好。

EK 算法

先说时间复杂度：\(O(n m^2)\)

增广路径是啥？就是找到一条从源点开始到汇点的一条路径，用 BFS 遍历。找到这条增广路径上的最小的剩余流量值。也就是边权剩下最短的，然后减去他，若最小值为 \(x\)，相当于跑了这个增广路径 \(x\) 遍。

根匈牙利算法和KM算法的增广路径类似，详见 图论基础。

增广路径寻找的过程如下：（from link。）

一直找增广路径，知道找不到增广路径就停止。

但是会发现，这样的贪心是被 hack 的。因为如果如下图：

按照上述算法模拟可能第一次是 (1->3->2->4)，然后最大流为 \(1\)。但是通过用脚模拟，发现了其实实际上是 \(2\)（1->2->4 and 1->3->4）。

上述部分都挺简单，接下来，引入 EK 算法的精髓 建反边。

反向边其实就是一个反悔的机会，也就是让流过的流量流回去。

大佬是这样说的，精炼。

具体来解释 反向边：

因为我们在找到一个 dis （减去的值）后，就会对每条边的容量进行减法操作，而直接更改值就会影响到之后寻找另外的增广路！当我们需要第二次经过该边时，我们就能够通过走反向边恢复这条边的原样。

2023FJZ 说的反向边：

假设你走完了这一条边，然后会影响到后面的边，所以建反向边，后面的边再跑一边，把之前的反向边当做正向边来跑，很显然会知道可以把他消除了。因此，这是一个非常暴力的解决方案。也可以那么理解，这一次先走了这一种方案，统计了最大值，然后清空成初始化，再换一个方案跑，但是反向边巧妙地解决了反悔的问题。正因为如此暴力，所以时间复杂度才回到 \(O(nm^2)\)。

反边只是一个相对的东西，对于这一条正边它的反边就是 (u,v) 倒过来变成 (v,u)。

反边的反边是正边。这样就可以构成了算法的需要。

EK 算法的整体过程如下：来自《NOI辞典》，感觉画的很详细。

由于数据较小，所以用邻接矩阵来存储，但是链式前向星是更好的选择，下面代码使用的就是链式前向星。

它可以通过边的编号 ^ 1 找到自己的反边，非常巧妙，但是vector存边就无法做到了。因为你要做到记录每一条边的编号。

对于 EK 算法的时间复杂度证明蒟蒻还不是太会，说是 \(O(nm^2)\) 但实际上并没有。通过板子题目 知道 $ n\le 200 , m \le 5000$ 可以通过，是非常的玄学对吧，而且单个测试点耗时最多 110ms，总共耗时 197 ms。哪位大佬留下时间复杂度详细证明给蒟蒻！！

证明如下：

网络流/二分图匹配这种算法都是严重达不到上限的

--- caoshurui 大佬

证毕

为啥呢？玄学。

const int inf = 0x3f3f3f3f,N = 205,M = 5005;
const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m,s,t;
int mp[N][N];int vis[N],dis[N],pre[N];
int head[N];
struct node{
	int to,nxt,val;
}e[2*M];//链式前向星
int tot=1;
void add(int x,int y,int z){
	e[++tot].to=y;
	e[tot].val=z;
	e[tot].nxt=head[x];
	head[x]=tot;
	e[++tot].to=x;
	e[tot].val=0;
	e[tot].nxt=head[y];
	head[y]=tot;
}
int ans=0;
bool bfs(){//广搜找增广路径
	memset(vis,0,sizeof vis);
	queue<int> q;
	vis[s]=1;
	dis[s]=inf;
	q.push(s);
	while(!q.empty()){
		int f=q.front();
		q.pop();
		
		for(int i = head[f];i;i=e[i].nxt){//链式前向星遍历
			if(e[i].val==0) continue;//值等于零的跳过，只对>0的进行处理。
			int to = e[i].to;
			if(vis[to]) continue;
			vis[to] = 1;
			dis[to]=min(dis[f],e[i].val);//这一条增广路径最小的值是多少（最后可以减去他）
			pre[to]=i;//记录路径
			q.push(to);if(to==t) return true;//找到增广路径返回
		}
	}return false;
}void update(){//更新，用算出来增广路径的最小值来更新每一条增广路径上的边。
	int it=t;
	
	int minn=dis[t];
	while(it!=s){
		int v=pre[it];
		e[v].val-=minn;
		e[v^1].val += minn;//反向边做相反的操作
		it=e[v^1].to;
	}
	ans+=dis[t];//更新答案
	
}
int flag[N][N];
void solve(){
	cin >> n >> m ;
	s=1,t=m;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int u,v,w;cin>>u>>v>>w;
		if(!flag[u][v]){//去重操作
			add(u,v,w);
			flag[u][v]=tot;
		}else{
			e[flag[u][v]-1].val+=w;
		}
	}
	while(bfs()){//保证有增广路径才可以
		update();
	}
	
	cout<<ans;
}

dinic 算法后期补上

参考文献

网络流 - Aswert - 博客园

题解 P3376 【【模板】网络最大流】 - Eleven谦 的博客 - 洛谷博客