博弈论

Nim 游戏

甲，乙两个人玩 nim 取石子游戏。
nim 游戏的规则是这样的：地上有 \(n\) 堆石子（每堆石子数量小于 \(10^4\)），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这 \(n\) 堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。
这其实是一道很典型的题目：P2197 【模板】Nim 游戏
先抛出定理：（\(\oplus\)代表异或）
Nim 和 = \(a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \cdots \oplus a_n\)
如果 Nim 和为 \(0\) 的时候，先手必败，否则先手必胜
其实理论是很抽象的。
为什么异或就可以算出先手必胜或者必败呢？

在证明之前不妨先知道几个定理：

• 异或这个位运算支持交换律和结合律，所以可以交换着乱搞
• 先手必胜等价于后手必输，后手必胜等价于先手必输。
• 如果没有后继状态的状态必然是必败状态。（意思大概就是：如果后面的状态是先手必输，那么前面这个接着的状态就是先手必赢）
• 如果 \(a_1 \oplus x = k\) ，那么 \(a_1 \oplus x \oplus k = 0\)。
• 如果 \(a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \cdots \oplus a_n = k\)，那么 \(a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \cdots \oplus a_n \oplus k = 0\)。（学过位运算都知道吧

于是我们可以开始推导了：

1. 首先明确我们的目标：目标是使得 \(a_1 = a_2 = a_3 = \cdot \cdot \cdot= a_n\) 也就是 \(a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \cdots \oplus a_n = 0\)。这一步应该很好的就退出来了。
2. 如果这个先手此时的异或和 = 0时：代表着此时的状态也是0，显然，没有东西取了，必输
3. 如果这个先手此时的异或和 ！= 0：那么有一种方案：可以根据上面的定理四使得下一个（即后手）是必输的，所以这个（先手）就是必胜的（是定理三）。

然后，就做完了！！

简单吗？简单。抽象吗？抽象。难吗？我学了一个晚上

如此简短的代码可以过掉一个绿题，很不应该。我学了一个晚上还不懂（现在懂了。。），只是绿题，不应该

cin >> n;
ans=0;
for(int i = 1;i <= n;i++){int x;cin>>x;ans^=x;}
if(ans) cout<<"Yes\n";
else cout<<"No\n";

【参考文献】：

• https://www.luogu.com.cn/blog/483037/qian-tan-bo-yi-lun
• https://www.luogu.com.cn/blog/efforts-will-pay-off/solution-p2197
• https://www.luogu.com.cn/blog/attack/bo-yi-lun-ru-men-zhi-nim-you-hu
• https://www.luogu.com.cn/blog/yby39/solution-p2197
• https://oiwiki.com/math/game-theory/impartial-game/
• https://www.luogu.com.cn/blog/aiyoupass/solution-p2197