2.数论基础2023-12-01

3.数据结构2023-11-24 4.图论算法2023-11-24 5.博弈论2023-12-15 6.杂算法2023-12-08 7.莫队与分块学习笔记2024-03-04 8.模拟退火学习笔记2024-03-06 9.CDQ分治2024-04-24

欧拉函数

定义

欧拉函数 $ϕ (n)$ 代表的是 $[1, n]$ 之间与 $n$ 互质的数量。

公式

$ϕ (n) = n \times (1 - \frac{1}{p_{1}}) \times (1 - \frac{1}{p_{2}}) \times (1 - \frac{1}{p_{3}}) \times \dots \dots \times (1 - \frac{1}{p_{k}})$

其中： $n$ 有 $k$ 个质因数，而 $p_{i}$ 就是其中的一个质因数。

推导

如何推导

推导的方式要用到容斥原理。

欧拉函数 $ϕ (n)$ 代表的是 $[1, n]$ 之间与 $n$ 互质的数量，但是我们发现比较难想，于是正难则反，直接从不互质来入手，然后减掉就得出结果了。

如果 $i$ 是不互质，那么 $i$ 和 $n$ 必将有共同的质因数。所以，我们可以通过 $n$ 的每一个质因数进行倍数处理，然后容斥算出有多少是不互质的，因此也就可得出答案了。

推导过程

我们设： $n$ 的质因数是：{ $p_{1}, p_{2}, \dots \dots, p_{k}$ }。

那么 $p_{i}$ 在 $[1, n]$ 这个区间中的倍数就有 $\frac{n}{p_{i}}$ 。

为了方便推导，我们暂且先设 $k = 3$ 。

于是就可以得到公式：

$n - \frac{n}{p_{1}} - \frac{n}{p_{2}} - \frac{n}{p_{3}} + \frac{n}{p_{1} \times p_{2}} + \frac{n}{p_{1} \times p_{3}} + \frac{n}{p_{2} \times p_{3}} - \frac{n}{p_{1} \times p_{2} \times p_{3}}$

在进行通分之后，我们发现这个式子其实已经等于 $ϕ (n)$ 了。

得证。

代码

定义法

只能处理一个数的 $ϕ$ 。

思路是一边分解质因数一遍处理欧拉函数

int get_euler(int n)
{
    int euler = n;
    for (int i = 2; i <= n / i; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            euler = euler / i * (i - 1) //euler = euler * (1 - 1 / i); 
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }

    if (n > 1) euler = euler / n * (n - 1);
    return euler;
}

线性筛法

在进行筛法的时候处理欧拉函数

可以在一次线性筛中处理出 $[1, n]$ 中的欧拉函数

int primes[N], cnt = 0;
int euler[N];
bool st[N];

int get_euler(int n)
{
    euler[1] = 1; // 1的欧拉函数值是1

    // 线性筛模板 + 过程中求欧拉函数
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++] = i;
            euler[i] = i - 1; // (1)式
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
        {
            st[i *primes[j]] = true;  
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                euler[i * primes[j]] = euler[i] * primes[j]; //(2)式
                break;
            }
             euler[i * primes[j]] = euler[i] * (primes[j] - 1);//(3)式
        }
    }
    // 最后，euler数组中存的就是 1 ~ n 每个数的欧拉函数值 
}
urn euler;
}

一些等式

当 $n$ 是质数的时候， $ϕ (n) = n - 1$ 。
当 $n$ 是质数的时候，存在 $n^{k}$ 使得 $ϕ (n^{k}) = (n - 1) \times n^{k - 1}$
积性函数，如果 $n$ 与 $m$ 互质，则 $ϕ (n \times m) = ϕ (n) \times ϕ (m)$

参考文献：

费马小定理

如果 $p$ 是一个质数， $a$ 不是 $p$ 的倍数。那么必然存在： $a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)$

~~谁想推啊~~！所以不推了。（~逃

逆元

逆元的定义

如果一个线性同余方程， $p$ 为质数， $a$ 与 $p$ 互质，那么 $a x \equiv 1 (\mod p)$ ， $x$ 就是 $a$ 与 $p$ 的逆元。

快速幂求逆元

单个求，时间复杂度 $\log n$ 。适合单个求。

推导

$∵$ 根据费马小定理我们可以知道： $a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)$

$∴$ $a \times a^{p - 2} \equiv 1 (\mod p)$

所以什么？很容易看出来 $x = a^{p - 2}$ 。

注意了，我们是由费马小定理推出 $x$ 的值的，但是我们不能根据这个式子去推导费马小定理。

代码

~~记得 #define int long long~~~

inline ll ksm(int a,int b){
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ans = mod(ans * a,p);
        b >>= 1,a = mod(a * a,p);
    }return ans;
}
inline void solve(){//快速幂求逆元 
    cin >> n >> p;
    for(re int i(1);i <= n;++i){
        println(mod(ksm(i,p-2),p));
    }
}

线性求逆元

整体的思想就是利用已知的数据从前往后推，以达到 $O (n)$ 复杂度的需求，适合求多组数据的题目。

首先，我们有一个 $1^{- 1} \equiv 1 (\mod p)$ 。

设： $p = k \times i + r$ ，其中 $1 < r < i < p$ 。换句话说， $k$ 是 $p / i$ 的商， $r$ 是余数。

将这个式子放在 $(\mod p)$ 这个意义下，得到 $k \times i + r \equiv 0 (\mod p)$

$∵ k \times i + k \equiv 0 (\mod p)$

乘上 $i^{- 1}$ ， $r^{- 1}$ $∴$ $k \times r^{- 1} + i^{- 1} \equiv 0 (\mod p)$

移项 $∴ i^{- 1} \equiv - k \times r^{- 1} (\mod p)$

将， $k$ 是 $p / i$ 的商， $r$ 是余数带入 $∴ i^{- 1} \equiv - ⌊ \frac{p}{i} ⌋ \times (p \mod i)^{- 1} (\mod p)$

这样我们就可以利用递推来完成计算逆元的操作了。

注意：因为是存在负数，所以我们取模操作的时候就要 (x + mod) % mod

void solve(){ //线性求逆元 
    ans[1]=1;
    cin >> n >> p;
    cout<<1<<endl;
    for(int i(2);i <= n;++i){
        ans[i] = (-p / i * ans[p % i] + p) % p;
        cout<<(ans[i] + p) % p<<endl;
    }
}

参考文献:

乘法逆元 - zjp_shadow 的博客 - 洛谷博客

扩展欧几里得exgcd

扩展欧几里得算法是用来求解 $a x + b y = gcd (a, b)$ 的一种可行解。

推导过程

设：

$a x_{1} + b y_{1} = g c d (a, b)$

$b x_{2} + (a \mod b) y_{2} = g c d (b, a \mod b)$ 。

$∵ g c d (a, b) = g c d (b, a \mod b)$

$∴ a x_{1} + b y_{1} = b x_{2} + (a \mod b) y_{2}$

又 $∵ a \mod b = a - (⌊ \frac{a}{b} ⌋ \times b)$

$∴ a x_{1} + b y_{1} = b x_{2} + [a - (⌊ \frac{a}{b} ⌋ \times b)] y_{2}$

$∴ a x_{1} + b y_{1} = b x_{2} + a y_{2} - (⌊ \frac{a}{b} ⌋ \times b) y_{2}$

$∴ a x_{1} + b y_{1} = a y_{2} + b \times (x_{2} - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ \times y_{2})$

$∵ a = a, b = b$

$∴ x_{1} = y_{2}, y_{1} = x_{2} - ⌊ \frac{a}{b} ⌋ \times y_{2}$

一直递归迭代即可。

代码

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}

线性同余方程

定义

$a x \equiv b (\mod n)$

找出这个方程的可行解。（ $x$ 为未知数）。

Exgcd 解法

首先：可以将式子变为 $a x + k n = b$

其中 $x$ 和 $k$ 是未知数。对于整数解的充要条件是 $gcd (a, n) | b$ 也就是 $b \mod g c d (a, n) = 0$

我们先根据 Exgcd 来找出一组 $x_{0}$ 和 $k_{0}$ ， $a x_{0} + n k_{0} = g c d (a, n)$ 。

然后等式同除 $g c d (a, n)$ ，再乘 $b$ 。

得到：

$a \frac{b}{g c d (a, n)} x_{0} + n \frac{b}{g c d (a, n)} k_{0} = b$

那么这就是这个方程的可行解。

当： $g c d (a, n) = 1$ 时 $x_{0}$ 与 $k_{0}$ 是 $a x + k n = b$ 的一组解，那么：

$x = x_{0} + n t$

$k = k_{0} - n t$

为啥，我就不知道了。这对于任意整数 $t$ 都是正确的

一般来说，题目让你求最小解，所以只需要求 $(x \mod t + t) \mod t$

其中就有： $t = \frac{n}{g c d (a, n)}$

code

int ex_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
  int temp = x;
  x = y;
  y = temp - a / b * y;
  return d;
}

bool liEu(int a, int b, int c, int& x, int& y) {
  int d = ex_gcd(a, b, x, y);
  if (c % d != 0) return 0;
  int k = c / d;
  x *= k;
  y *= k;
  return 1;
}

中国剩余定理（CRT）

对于 $k$ 个同余式，求最小非负的 $x$ 。

第 $i$ 个同余式。

$x \equiv a_{i} (\mod m_{i})$

对于这个方程组需要解 $x$ 。

题目保证所有 $m$ 两两互质。

设 $M$ 为所有模数的积，模数都是 $m + i$ 。 $M_{i} = M / m_{i}$ ， $t_{i} \times M_{i} \equiv 1 (\mod m_{i})$ 也就是一个逆元，所以直接Exgcd 搞定 $t_{i}$ 。。

$x \equiv \sum_{i = 1}^{n} a_{i} M_{i} t_{i} (\mod M)$

这样就可以求得 $x$ 的最小解了。

我们要证明 $x$ 在任意 $i (1 \leq i \leq k)$ 条式子中是成立的

在 $i$ 不等于 $j$ 的时候，有 $M_{j} \equiv 0 (\mod m_{i})$ 。

所以 $c_{j} \equiv M_{j} \equiv 0 (\mod m_{i})$ ，

又有 $c_{i} \equiv M_{i} \times (M_{i}^{- 1} \mod m_{i}) \equiv 1 (\mod m_{i})$

所以我们有：

$x \equiv \sum_{i = 1}^{n} a_{i} M_{i} t_{i} (\mod m_{i})$

$\equiv a_{i} M_{i} \times (m_{i}^{- 1} \mod m_{i}) (\mod m_{i})$

$\equiv a_{i} (\mod m_{i})$

奥管他推的对不对，知道公式不就是了！！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N = 1e5+5;
ll n;
ll pr[N],A[N];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll g = exgcd(b,a%b,y,x);
    y -= a/b*x;
    return g; 
}
ll crt(){
    ll ans=0;
    ll M=1;
    for(int i =1;i<=n;i++) M*=pr[i];
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        ll m=M/pr[i];
        ll x,y;
        exgcd(m,pr[i],x,y);
        ll t=  m*x%M*A[i]%M;
        ans = (ans + t) % M;
    }
    return (ans+M) %M;
}
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%lld%lld",&pr[i],&A[i]);
    }
    printf("%lld\n",crt());
    return 0;
}

拓展中国剩余定理（EXCRT）

认为还是金钩爷讲的好，证明其实感觉。。。哎算了，就把证明发这了。反正正常用直接套公式。

现在考虑合并两个同余方程的时候该怎么做。

${\begin{cases} x \equiv b (\mod a) x \equiv B (\mod A) \end{cases}$

这个可以写作：

${\begin{cases} x = a y + b x = A Y + B \end{cases}$

由于 $x$ 是一个常量，因此 $a y + b = A Y + B$ ，其中 $a, b, A, B$ 都是常数

整理一下后就是 $a y + A (- Y) = B - b$

通过exgcd，可以获得一组关于 $a y + A (- Y) = gcd (a, A)$ 的解 $(y_{0}, - Y_{0})$

即 $a (y_{0} \times \frac{B - b}{gcd (a, A)}) + A (- Y_{0} \times \frac{B - b}{gcd (a, A)}) = gcd (a, A) \times \frac{B - b}{gcd (a, A)} = B - b$

由于 $x = a y + b$ ，现在要最小化 $x$ ，也就是最小化 $y$ ，即最小化 $t = y_{0} \times \frac{B - b}{gcd (a, A)}$

由于 $t$ 的通解为 $t + \frac{A}{gcd (a, A)} k$ ，因此 $t$ 的最小值为 $t_{0} = t mod \frac{A}{gcd (a, A)}$

于是就可以将这两个同余方程合并为

$x \equiv a \times t_{0} + b (\mod lcm (a, A))$

参考文献：https://www.luogu.com.cn/blog/KingSann/solution-p4777。

对于洛谷 P4777 的模板代码如下：

signed n;
int A, B, a, b, d, x, y;
void exgcd(int &x, int &y, int a, int b) {
	if (!b) {
		d = a, x = 1, y = 0;
	} else exgcd(y, x, b, a % b), y -= a / b * x;
}
void merge() {
	exgcd(x, y, a, A);
	int c = B - b;
	if (c % d) {
		cout << -1;
		exit(0);
	} else {
		x = ((x * c / d) % (A / d) + (A / d)) % (A / d);
		int m = a * A / __gcd(a, A);
		b = ((a * x + b) % m + m) % m ;
		a = m;
	}
}
void excrt() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ll x, y;
		cin >> x >> y;
		A = x, B = y;
		if (i != 1) merge();
		else a = x, b = y;
	}
	cout <<	(ll)(b % a);
}

__EOF__

本文作者：gsczl71
本文链接：https://www.cnblogs.com/gsczl71/p/17870948.html
关于博主：GDSZ初一蒟蒻，明年拿下七级勾
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！

posted @ 2023-12-01 21:57 gsczl71 阅读(122) 评论(0) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

相关博文：

· 2023CSP复赛/NOIP备战模拟赛复盘集合

· 2023年题解总和

· 第四章数学知识二

· 【提高级】数论

· 基础数论Ⅰ

阅读排行：
· 周边上新：园子的第一款马克杯温暖上架
· 分享 3 个 .NET 开源的文件压缩处理库，助力快速实现文件压缩解压功能！
· Ollama——大语言模型本地部署的极速利器
· DeepSeek如何颠覆传统软件测试？测试工程师会被淘汰吗？
· 使用C#创建一个MCP客户端

公告

数论基础

发表于 2023-12-01 21:57阅读：122评论：0推荐：0

数论

关注

跳至底部

昵称： gsczl71
园龄： 1年3个月
粉丝： 10
关注： 4

+加关注

gsczl71

2024年拿下七级勾

数论基础

欧拉函数

定义

公式

推导

如何推导

推导过程

代码

定义法

线性筛法

一些等式

费马小定理

逆元

逆元的定义

快速幂求逆元

推导

代码

线性求逆元

扩展欧几里得exgcd

推导过程

代码

线性同余方程

定义

Exgcd 解法

code

中国剩余定理（CRT）

拓展中国剩余定理（EXCRT）

公告

gsczl71

数论基础

搜索

常用链接

合集 (4)

随笔分类 (34)

随笔档案 (38)

相册 (63)

网站

阅读排行榜

评论排行榜

推荐排行榜

最新评论