2025/1/16 NOIP模拟赛

T1

这题是一个很好的题。
首先在赛时的思路是一个贪心，将整个数列从小到大进行排序，倒着扫整个序列，先把大的满足了再回来满足小的，以此类推。
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这个思路是错误的，不难构造出一组数据来卡掉。
对于10 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1这组数据，正确答案是\(5\)，按上面贪心答案是\(2\)。
根本原因在于贪心是把这一堆\(5\)放在了一起，事实上，我们并不需要把他们放在一起，完全可以构造出来一个另外的解法。
数据比较仁慈，我们拿到了\(81pts\)的好成绩。

满分解法\(1\):

先对整个序列进行从小到大排序。
考虑\(dp\)求解，设定\(dp\)状态为：\(dp_i\)表示到了第\(i\)个位置可以分的最多的桌子个数，易得转移方程：

\[f_i = \max_{i=0}^{i-a[i]}(f_j)+1(i-a_i >= 0) \]

不难发现这个正常的做法会是\(O(n^2)\)的，没有办法通过这个题目，考虑动态维护一个前缀最大值把求\(\max_{i=0}^{i-a[i]}(f_j)\)优化到\(O(1)\)。
前缀最大值的思想就是计算出来当前这个后，更新对于当前位置的最大值，对于更新当前位置的最大值，要访问前一个的前缀最大值，具体实现如下：

for(int i = 1;i <= n;i++)
{
	if(i-a[i] >= 0)
	{
		dp[i] = sum[i-a[i]]+1;
	}
	sum[i] = max(dp[i],sum[i-1]);
}

时间复杂度为\(O(nlogn)\)，复杂度瓶颈在于排序，如果采用计数排序的话，完全可以做到\(O(n)\)。
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满分做法\(2\):

贪心其实没有问题，不过需要更新一下做法。
先从大到小对于序列进行排序，还是先从前到后找到第一堆当作第一桌，然后反过来，正常从大到小进行贪心，贪剩下的就塞到第一堆，举个例子，例如有\(6\)个\(5\)剩下一个就给她撇到第一个预处理的堆。
没有写，时间不是很够。

T2

贪心+模拟，观察复杂度，直接暴力枚举被修改的数，即是\(0-9\)，然后再暴力算增量，判断一下字典序就可以了，基本就是模拟。
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T3

好题。

\(40pts:\)

暴力计算出最长的区间左右端点，直接枚举\(T\)算贡献。

\(100pts:\)

做法\(1\):

观察一下对于\(a_i和b_i\)的数据范围，答案只跟序列左右端点和长度的相对大小有关，离散化就可以有效缩小需要枚举的范围。
对于每一个位置，我们可以采用树状数组将所有离散过后的数分别扔进去，维护一下每个位置数在数组中出现的个数，然后对于每一个\(T\)，我们查询出来所有\(\le T\)的区间左端点个数\(a\)还有所有\(< T\)的区间右端点个数\(b\)，那么对答案贡献为\(Z\)的区间，就是\(b\)的个数；对于答案贡献为\(Y\)的，就是区间左端点大于\(T\)，但是区间右端点小于\(T\)的区间个数，就是\(a-b\)个；对于答案贡献为\(X\)的，显然就是\(n-a\)个，代码较为好写，写好离散化就可以了。
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做法\(2\)：

我们发现所有的查询都是在修改之后的，所以，你傻逼把，为什么要线段树和树状数组！（理塘丁真音）
yzh给出了更为nb的做法，忽然忆起昨日神秘T3，也是针对类区间求和，采用思想为差分，那么同理，在这里，我们也在需要修改的区间头尾打上差分标记，暴力\(O(n)\)求出区间和，然后继续计算就可以了！
code (来自yzh)

T4

神必状压\(dp\)，拼尽全力，无法战胜嘛！
设定\(dp\)状态为：\(dp_{i,sta}\)表示当前已经扫到了第几串葡萄，这\(i\)串葡萄中后\(k\)串的选择状态为\(sta\)，每一位状态上的\(0/1\)表示\(选/不选\)。
考虑转移，注意到一个问题，二进制下每一位是用下标为\(0\)开始计算的，我们是倒着枚举，也就是枚举出\(i\)这一位的状态后，往前枚举能够转移到的状态，发现有两种情况，先将状态右移动一位，消除掉整个状态的最后一位，然后考虑从右往左数的第\(k\)为的状态，可以为\(0\)或者是\(1\)，是\(1\)的话你就用右移后的数 或 上 \(1 << (k-1)\)，因为上面提过了，二进制下是以\(0\)为下标起始的，所以是\((k-1)\),说一下为什么这么考虑，对于以下状态，可以被前面的转移过来：

那就显然了，对于\(dp\)初始值，你需要把\(dp_{0,k}\)的所有状态\(k\)都初始化成\(0\)，剩下的是INT_MIN，在预处理出来\(dp_{0,k}\)的时候，计算出来没种状态下连续\(k\)个中\(1\)的个数，在转移的过程中，判断状态是否合法即可。
注意，tm的\(2^k\)在c++中是pow(2,k)，不是2^k!!!!!!!
code
都写完了，回家咯。