传说中的网络流24题

网络流24题，传说中学习的网络流的必做题目。今天终于做完了，感觉涉及的模型并不多，有一些我听说过的就没有涉及。但还是总结如下：

1 搭配飞行员 二分图最大匹配 最大流

　　建模：把正副驾驶员分别作为二分图，以在可以同机飞行的政府飞行员间建边，流量为1。建立源点s和正飞行员间的边，流量1。建立副飞行员和汇点t的有向边，流量1。dinic，最大流。

2 太空飞行计划 最大权闭合图 最小割

　　建模：建立源点s和汇点t，让s与所有试验相连接，边权为试验赞助的钱数；让所有仪器与t相连接，边权为仪器费用；让所有试验与对应的仪器链接，边权为inf，跑最大流就可以了。明显要么是赞助费大于仪器费，那么得到的是仪器费（赞助费-仪器费=收益）；要么是仪器费大于赞助费，那么得到的是赞助费（不值得做，还是赞助费-赞助费=收益=0）。这样所有的赞助费减去得到的结果就是收益。

　　最大权闭合子图：http://blog.csdn.net/q610376681/article/details/52268346

3 最小路径覆盖 有向无环图最小路径覆盖 最大流

　　最小不相交路径覆盖：把每个点进行拆点，把2点之间连不边,；原有边依旧建边，注意入点和出点，权为1；建立源点和汇点，并分别连接他们与入点和出点的边，权为1。然后就是二分图匹配了。所有点数（不含源点和汇点）减去最大匹配就是答案。

　　通过上面的建图，拆点间的边表示原来的边，有用节点不能重复走，所有拆点间的边权为1。因为与源点或汇点的连边权为1，所以每一个点都只能作为边的起点或结束点一次。这样每找到一个匹配，两端的点就可以串在一个路径上，可以减少一条路径。所以点数-最大匹配=ans

   学习：https://www.cnblogs.com/justPassBy/p/5369930.html

4 魔术球 有向无环图最小路径覆盖 最大流

　　实际上还是上一个题，只是改为询问可以放多少个球。采用每次个数加1的方法加边，然后跑最大流。这样如果球数-dinic()>柱子数，证明放不下了，答案就是球数-1。

5 圆桌聚餐 二分图多重匹配 最大流

　　建模：建立源点s和汇点t，建立s点到代表队的边，权为代表人数；建立餐桌到汇点的边，权为餐桌的人数；建立代表队到每一个餐桌的边，权为1；跑最大流。

 

6 最长递增子序列 最多不相交路径 最大流

　　第一步：最长上升子序列长度，可以用DP得到。同时的到f[i]：表示到第i个数并以之结尾的最长上升子序列长度。

　　第二步：求最长上升子序列的条数。因为每个数只能用一次，所以每个点拆点，并连接边权为1的边。连接可能（f[]相连并且数值增加）的连接边，权为1。连接s与所有f[i]==1的点，连接t与所有f[i]==最长上升子序列长度 的点，边权1。跑最大流，就是答案。

　　第三步：同上一步，只是第1点和第n点可以使用多次，所以，拆点时权为inf。

7 试题库 二分图多重匹配 最大流

 　　建模：建立源点s和汇点t，连接s点与每种类型点的边，权为所选类型的数量；连接各个类型点与对应类型的题目的边，权为1，每个类型只选择给题目一次；连接每个题目和汇点t的边，权为1，每个题目只选1次。跑最大流。

　　输出：如果走了这条边，那么他的反边流量一定为1 

8 方格取数 二分图点权最大独立集 网络最小割

 　　建模：建立源点s和汇点t，让s和t分别于二分图的一侧相连，边权为方格内的数。连接相邻的方格边权为inf，求最大流（最小割）。结果就是所以格内数的和减去最小割。明显选了中间的方格就不选周边相邻的方格，所以就割边在对应的边上。 

　　学习：https://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/6035945.html

　　　　最大独立集=所有点-最小独立集

9 餐巾计划 线性规划网络优化 最小费用最大流

　　建模：典型的费用流。初做该题，关键在于把每天想象成两个点，需要的干净餐巾(B)和用过餐巾的处理(A)；还有s,t的理解，可认为用过的通过s,t作为管理站进行分发处理。这样每天需要的干净毛巾由三个来源，新购入s，慢洗A(i-n),快洗A(i-m)；每天用过的餐巾有三个处理渠道，慢细B（i+n),快洗B（i+m)，留待明天处理A（i+1)。在加上每天需要餐巾和用过餐巾都是cost(i)，可以理解为干净的餐巾由源点s代购，用过的餐巾由汇点t收集，再由s点转给各个用过餐巾点。

　　学习：http://blog.csdn.net/ruoruo_cheng/article/details/51527417

10 软件补丁 最小转移代价 最短路径

　　这是网络流吗？分明就是一个状态压缩最短路。分别记录有一种状态到另一种状态所需要的条件和产生的变化。求从全部漏洞到没有漏洞的最短路经（时间）。

11 数字梯形 最大权不相交路径 最小费用最大流

　　实际就是最大费用最大流。

 　　数字点进行拆点连边，如果点或者边只可以走一次就把流量设为1，费用为点权相反数，当然边的权为0。建立源点和汇点，求最小费用最大流，输出相反数，OK！

12 运输问题 网络费用流量 最小费用最大流

　　源点s到各个仓库点建边，流量为货物量，费用为0；各个商店点到汇点t，流量为需要的货物量，费用为0；各个仓库和各个商店连边，流量inf，费用为对应两点件运输的费用，跑最小费用最大流，OK！

13 分配问题 二分图最佳匹配 最小费用最大流

　　建立源点s，并连接s到人的边，流量为1，费用为0；建立汇点t，并连接工作到t的边，流量为1，费用为0；连接每个人到每一项工作的边，流量为1，费用为对应的效益，跑最小费用最大流，得到最小收益。如果把费用取反，求最大费用最大流，得到最大收益。

14 负载平衡 最小代价供求 最小费用最大流

　　建立源点s到每个点的边，流量为点的货物量，费用为0；建立各个点到汇点t的边，流量为所有货物的平均数，费用为0；建立每个点和上一点和下一点的边，流量为inf，费用为1；求出最小费用最大流，OK！

15 最长k可重区间集 最大权不相交路径 最小费用最大流

　　建模：对所有区间的左右端点进行离散化，连接前一点到后一段的边，流量inf，费用0；建立源点s到1号点的边，流量为k，费用为0；建立随后一个点到汇点t的边，流量为k，费用为0；建立每个区间的左右端点的边，流量为1，费用为区间长度。跑最大费用最大流。相当于跑了k次最短路，并把对应的路废掉。

16 星际转移 网络判定 分层图最大流

　　建模：按照时间进行分层。依次枚举时间，时间每增加以，则增加（太空站+2）个点（一层），连接上一次与这一次的点，边为飞船可从上一时刻的某站到这一时刻的某站，边权为飞船的容量。s代表地球，t代表月球。跑最大流，如果人数大于等于需要运送的人数，则输出时间，否则时间加1，增加一层，继续跑最大流。

17 孤岛营救问题 分层图最短路径 最短路径

　　分层图最短路，是网络流吗？

　　按照钥匙的状态分层，也就是表示当前状态的变量有坐标（x,y）还要加上当前拥有的钥匙z。当然钥匙状态z需要状态压缩。然后spfa求最短路，其中到达目标的最短路就是答案。

18 航空路线问题 最长不相交路径 最小费用最大流

　　建模：从西到东再到西，实际上就是从西向东飞两次。最东和最西的城市拆点后流量为2，其他城市拆点后流量为1，费用为-1；在连接直航的边，流量为1，费用为0，跑最小费用最大流，OK!但是，如果只有东西两个城市，也就是流量为1，那么要进行特判。

　　恶心人的是，所有城市都是字符串，要用到map

19 汽车加油行驶问题 分层图最短路径 最短路径

　　该题与题17基本相同，在坐标（x,y）的基础上增加当前点剩余的油量z，这样F(x,y,z)表示在（x,y）点，在剩余油量为z的情况下的最小花费。跑spfa。

　　注意点：当油量变为0时，自动建立油站并充满油；到油站自动加油；还有一个坑，当到达终点刚好油量为0时，不再加油。

20 深海机器人问题 线性规划网络优化 最小费用最大流

　　建模：费用流，没什么好说的。有一点当时比较懵，如何只有第一次获得费用，实际方法很简单：建2条边，一条流量1，费用是指定值，一条流量inf，费用为0。

21 火星探险问题 线性规划网络优化 最小费用最大流

　　同上一题一样，只不过是把方格拆成2个点，2个点间件两条边。

　　不过，第5个点没有过，不知道为什么！！！

22 骑士共存问题 二分图最大独立集 网络最小割

　　首先要建立二分图。然后求最大流。最大独立集=所有点数-最小点覆盖

23 最长k可重线段集问题 最大权不相交路径 最小费用最大流

　　建模方法与第15题相同，全部在于由的点断可能出现竖直的情况，也就是两端点相同，这样跑最大流会有负环。因此在离散时要把左右端点做一下处理，也就是乘以2，如果两端点不相等，右端点减1，相等则左端点减1。

24 机器人路径规划问题 最小费用最大流(未做)