LCT

说在前面：

很长时间没有更新BLOG了，但是前两天给孩子们讲了一点东西，发现这个东西还是有点用的，所以还是更着吧！

去年的这个时候，我说要学习一下LCT给两个学生讲一下，可是没有兑现诺言，前一段时间看了一下，就当是记录吧！

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LCT（Link-Cut Tree），动态树的一种实现方法，据说还有别的方法，可是我不会。

LCT功能强大，所有树剖能够干的活它都可以，具体它有其它的什么功能，自己上网去查一下吧！

LCT采用了类似树链剖分的思想，把树的边分为了实边和虚边，每一个节点都只有一个实边，实边相连成为实链。LCT主要就是针对实链进行的操作。

LCT维护的并不是树，而是一个森林。

LCT很好写，但是看了网上的一些课件以很容易犯糊涂。但是只要记住以下几点就没有问题：

1、LCT所有的操作都只是针对辅助树，不针对原树，原树只是帮助你思考的。

2、辅助树对就一棵原树，一棵SPLAY树就是原树中的一条实链。

3、第一个节点的左右孩子都和他在一个实链上，也就是一棵SPLAY中，两个孩子的父亲也指向他。

4、有的节点的父亲的孩子指针并不指向他，也就是他认父亲但父亲不认他，这种节点就是splay的根。父亲指针指向的是原树中这条实链的向上连接节点。

5、如果一个节点的父亲指针指向的是NULL，说明他是原树的根。

记录的数据：

int ch[maxn][2],fa[maxn],sta[maxn],top;　　　　//ch[][]节点的左右孩子、fa[]节点的父亲、sta[]用来下传标记
bool rev[maxn];　　　　　　　　　　　　　　　　　　//rev[]是否进行翻转，MAKEROOT用到

 

LCT中主要有两个操作：

ACCESS(X)和makeroot(x)

ACCESS(X):将x点断开了孩子的实边并把他用实边连接到根（上面说有都是在原树中）

void access(int x)
{
    int t=0;
    while(x)
    {
        splay(x);
        ch[x][1]=t;
        t=x;
        x=fa[x];
    }
}

 

MAKEROOT(X):新x点改为原树的根。

void makeroot(int x)
{
    access(x);
    splay(x);
    rev[x]^=1;
}

 

其它的操作都是在这两个操作的基础上实现的，如LINK，CUT等。

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2049: [Sdoi2008]Cave 洞穴勘测

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MB

Description

辉辉热衷于洞穴勘测。某天，他按照地图来到了一片被标记为JSZX的洞穴群地区。经过初步勘测，辉辉发现这片区域由n个洞穴（分别编号为1到n）以及若干通道组成，并且每条通道连接了恰好两个洞穴。假如两个洞穴可以通过一条或者多条通道按一定顺序连接起来，那么这两个洞穴就是连通的，按顺序连接在一起的这些通道则被称之为这两个洞穴之间的一条路径。洞穴都十分坚固无法破坏，然而通道不太稳定，时常因为外界影响而发生改变，比如，根据有关仪器的监测结果，123号洞穴和127号洞穴之间有时会出现一条通道，有时这条通道又会因为某种稀奇古怪的原因被毁。辉辉有一台监测仪器可以实时将通道的每一次改变状况在辉辉手边的终端机上显示：如果监测到洞穴u和洞穴v之间出现了一条通道，终端机上会显示一条指令 Connect u v 如果监测到洞穴u和洞穴v之间的通道被毁，终端机上会显示一条指令 Destroy u v 经过长期的艰苦卓绝的手工推算，辉辉发现一个奇怪的现象：无论通道怎么改变，任意时刻任意两个洞穴之间至多只有一条路径。因而，辉辉坚信这是由于某种本质规律的支配导致的。因而，辉辉更加夜以继日地坚守在终端机之前，试图通过通道的改变情况来研究这条本质规律。然而，终于有一天，辉辉在堆积成山的演算纸中崩溃了……他把终端机往地面一砸（终端机也足够坚固无法破坏），转而求助于你，说道：“你老兄把这程序写写吧”。辉辉希望能随时通过终端机发出指令 Query u v，向监测仪询问此时洞穴u和洞穴v是否连通。现在你要为他编写程序回答每一次询问。已知在第一条指令显示之前，JSZX洞穴群中没有任何通道存在。

Input

第一行为两个正整数n和m，分别表示洞穴的个数和终端机上出现过的指令的个数。以下m行，依次表示终端机上出现的各条指令。每行开头是一个表示指令种类的字符串s（"Connect”、”Destroy”或者”Query”，区分大小写），之后有两个整数u和v (1≤u, v≤n且u≠v) 分别表示两个洞穴的编号。

Output

对每个Query指令，输出洞穴u和洞穴v是否互相连通：是输出”Yes”，否则输出”No”。（不含双引号）

Sample Input

样例输入1 cave.in
200 5
Query 123 127
Connect 123 127
Query 123 127
Destroy 127 123
Query 123 127
样例输入2 cave.in

3 5
Connect 1 2
Connect 3 1
Query 2 3
Destroy 1 3
Query 2 3

Sample Output

样例输出1 cave.out
No
Yes
No


样例输出2 cave.out

Yes
No

HINT

 

数据说明 10%的数据满足n≤1000, m≤20000 20%的数据满足n≤2000, m≤40000 30%的数据满足n≤3000, m≤60000 40%的数据满足n≤4000, m≤80000 50%的数据满足n≤5000, m≤100000 60%的数据满足n≤6000, m≤120000 70%的数据满足n≤7000, m≤140000 80%的数据满足n≤8000, m≤160000 90%的数据满足n≤9000, m≤180000 100%的数据满足n≤10000, m≤200000 保证所有Destroy指令将摧毁的是一条存在的通道本题输入、输出规模比较大，建议c\c++选手使用scanf和printf进行I\O操作以免超时

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10005;
char s[10];
int n,m;
int ch[maxn][2],fa[maxn],sta[maxn],top;
bool rev[maxn];
bool isroot(int x)
{
    return ch[fa[x]][0]!=x && ch[fa[x]][1]!=x;
}
void down(int x)
{
    if(!rev[x])return ;
    rev[ch[x][0]]^=1;
    rev[ch[x][1]]^=1;
    swap(ch[x][1],ch[x][0]);
    rev[x]=0;
}
void rotate(int x,int f)
{
    int y=fa[x];
    if(!isroot(y))ch[fa[y]][ch[fa[y]][1]==y]=x;
    fa[x]=fa[y];
    if(ch[x][f])fa[ch[x][f]]=y;
    ch[y][!f]=ch[x][f];
    fa[y]=x;
    ch[x][f]=y;
}
void splay(int x)
{
    sta[++top]=x;
    for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i])sta[++top]=fa[i];
    while(top)down(sta[top--]);
    while(!isroot(x))
    {
        if(!isroot(fa[x]))
        {
            if(ch[fa[x]][0]==x ^ch[fa[fa[x]]][0]==fa[x])rotate(x,ch[fa[x]][0]==x);
            else rotate(fa[x],ch[fa[fa[x]]][0]==fa[x]);
        }
        rotate(x,ch[fa[x]][0]==x);
    }
}
void access(int x)
{
    int t=0;
    while(x)
    {
        splay(x);
        ch[x][1]=t;
        t=x;
        x=fa[x];
    }
}
void makeroot(int x)
{
    access(x);
    splay(x);
    rev[x]^=1;
}
void link(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    fa[x]=y;
    splay(x);
}
void cut(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    access(y);
    splay(y);
    ch[y][0]=0;
    fa[x]=0;
}
int find(int x)
{
    access(x);
    splay(x);
    while(ch[x][0])x=ch[x][0];
    return x;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int u,v,i=0;i<m;++i)
    {
        scanf("%s%d%d",s,&u,&v);
        if(s[0]=='C')link(u,v);
        else if(s[0]=='D')cut(u,v);
        else
        {
            if(find(u)==find(v))printf("Yes\n");
            else printf("No\n");
        }
    }
    return 0;
}

还有其他的一些题目，可以参考黄学长的BLOG

如果要处理边权，可以在原来的两点之间加上一个点，这把边的树改为点权进行处理。