luogu4781

题目描述

由小学知识可知 n 个点 (x_i,y_i) 可以唯一地确定一个多项式 y = f(x)。

现在，给定这 n 个点，请你确定这个多项式，并求出f(k)mod998244353 的值。

输入格式

第一行两个整数 n,k。

接下来 n 行，第 i 行两个整数 x_i,y_i​。

输出格式

一行一个整数，表示 f(k)mod998244353 的值。

输入输出样例

输入 #1复制

3 100
1 4
2 9
3 16

输出 #1复制

10201

输入 #2复制

3 100
1 1
2 2
3 3

输出 #2复制

100

说明/提示

样例一中的多项式为 f(x)=x^2+2x+1，f(100) = 10201。

样例二中的多项式为 f(x)=x，f(100) = 100。

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1≤n≤2×103，1≤xi​,yi​,k<998244353，x_i两两不同。

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拉格朗日插值

给定n+1个点（x_0,y_0）,(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)

确定a_1*x^n+a_2*x^(n-1)+a_3*x^(n-2)+...+a_(n+1)*x^0

实际就是把n个点代入，解出n+1个系数。

再给你一个x求出对应的y值。

但是这个方法太慢，于是可以用拉格朗日插值法构造出这个函数，并解出y的值。

方法如下：

根据（x_0,y_0）我们可以构建一个函数，当x=x_0时，y=y_0；而代入x=x_1,x_2,...,x_n时y=0

y=y_0*((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n))/((x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)...(x_0-x_n))

同样的方法，我们可以其它点构造出对应的函数。

y=y_1*((x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n))/((x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)...(x_1-x_n))

y=y_2*((x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)...(x-x_n))/((x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)...(x_2-x_n))

...

y=y_n*((x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n-1))/((x_n-x_0)(x_n-x_1)(x_n-x_2)...(x_n-x_n-1))

然后把它们加起来就是我们要的函数

y=\sum_{i=0}^n y_i * \prod _{i=0,i\neq j}^n (x-x_j)/(x_i-x_j)

这样就可以用O(N^2)完成

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2010;
const int mod=998244353;
int n;
int x[maxn],y[maxn],xx;
int qpow(int x,int p)
{
    if(p==0)return 1;
    int tp=qpow(x,p/2);
    tp=1ll*tp*tp%mod;
    if(p%2)tp=1ll*tp*x%mod;
    return tp;
}
int lagrange(int n,int *x,int *y,int xi)
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int fz=1,fm=1;
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            if(i==j)continue;
            fz=1ll*fz*(xi-x[j])%mod;
            fm=1ll*fm*(x[i]-x[j])%mod;
        }
        ans=(1ll*ans+1ll*y[i]*fz%mod*qpow(fm,mod-2)%mod)%mod;
    }
    return (ans+mod)%mod;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&xx);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
    cout<<lagrange(n,x,y,xx)<<endl;
    return 0;
}