luogu2900 购买土地

题目描述

Farmer John 准备扩大他的农场，眼前他正在考虑购买 N 块长方形的土地。

如果 FJ 单买一块土地，价格就是土地的面积。但他可以选择并购一组土地，并购的价格为这些土地中最大的长乘以最大的宽。比如 FJ 并购一块 3×5 和一块 5×3 的土地，他只需要支付 5×5=25 元， 比单买合算。

FJ 希望买下所有的土地。他发现，将这些土地分成不同的小组来并购可以节省经费。 给定每份土地的尺寸，请你帮助他计算购买所有土地所需的最小费用。

输入格式

第一行一个整数 N（1≤N≤5×10^4）。

接下来 N 行，每行两个整数 w_i 和 l_i，代表第 i 块土地的长和宽。保证土地的长和宽不超过 10^6。

输出格式

输出买下所有土地的最小费用。

输入输出样例

输入 #1

4 
100 1 
15 15 
20 5 
1 100 

输出 #1

500 

说明/提示

将所有土地分为三组：

• 第一块土地为第一组，花费 100×1=100；
• 第二，三块土地为第二组，花费 20×15=300；
• 第四块土地为第三组，花费 1×100=100；

总花费为 500，可以证明不存在更优的方案。

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简单的斜率优化动态规划

首先，如果一块的长宽都大于等于另一块地，那么另一块地是不需要交钱的。所以先把所有的土地按照长从大到小排序，如果后面的土地的宽度小于前面某块大的，则不需考虑。

剩余的土地的宽逐步减小，而长逐渐增加的（减小的都不用考虑）。

建立简单的动态规划：f[i]=min(f[j]+h[i]*w[j+1])

这个动归要依次从大到小枚举i，而每个i要枚举j，所以明显是O(N^2)，无法完成。

由于出现了h[i]*w[j+1]，而求得是最小值，因此考虑斜率优化。

设：0<j<k<i，且k优于j

所以，f[j]+h[i]*w[j+1]>f[k]+h[i]*w[k+1]

移项可得：（f[k]-f[j]）/(w[k+1]-w[j+1])>-h[i]

我们通过前面的排序可知：h[i]是逐渐变大的，所以-h[i]逐渐减小，具有单调性

然后就按照斜率优化做就可以了！

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e4+10;
struct node
{
    long long w,h;
}sz[maxn];
int n;
int q[maxn];
long long f[maxn];
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.w>b.w || a.w==b.w &&a.h>b.h;
}
long double y(int a)
{
    return (double)f[a];
}
long double x(int a)
{
    return (double)sz[a+1].w;
}
long double get_xl(int a,int b)
{
    return (y(b)-y(a))/(x(b)-x(a));    
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lld%lld",&sz[i].w,&sz[i].h);
    sort(sz+1,sz+1+n,cmp);
    int nn=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
        if(sz[i].h>sz[nn].h)sz[++nn]=sz[i];
    int l,r;
    l=r=0;
    for(int i=1;i<=nn;++i)
    {
        while(l<r && get_xl(q[l],q[l+1])>=-sz[i].h)l++;
        f[i]=f[q[l]]+sz[i].h*sz[q[l]+1].w;
        while(l<r && get_xl(q[r-1],q[r])<=get_xl(q[r],i))--r;
        q[++r]=i;
    }
    cout<<f[nn]<<endl;
    return 0;
}