斜率优化DP

例题 任务安排

题面

\(n\) 个任务排成一个序列在一台机器上等待完成(顺序不得改变),这 \(N\) 个任务被分成若干批,每批包含相邻的若干任务。

从零时刻开始,这些任务被分批加工,第 \(i\) 个任务单独完成所需的时间为 \(T_i\)。在每批任务开始前,机器需要启动时间 \(S\),而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和(同一批任务将在同一时刻完成)。

每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数 \(C_i\)。请确定一个分组方案,使得总费用最小。

思路

  • 裸DP

求出\(T,C\)前缀和\(sumT,sumC\),设\(F_{i,j}\)表示把前\(i\)个任务分成\(j\)批的最小费用
\(F_{i,j}=min\){\(F_{k,j-1}+(S*j+sumT_{i})*(sumC_{i}-sumC_{k})\)}
\(O(N^3)\)

  • 费用提前计算

\(F_{i}\) 示把前\(i\)个任务分成若干批的最小费用
\(F_{i}=min\){\(F_{j}+sumT_{i}*(sumC_{i}-sumC_{j})+S*(sumC_{N}-sumC_{j})\)}
\(O(N^2)\)

  • 斜率优化DP

对解法二进行优化,先对状态转移方程进行变形
\(F_{i}=min\){\(F_{j}-(S + sumT_{i})*sumC_{j}\)}\(+sumT_{i}*sumC_{i}+S*sumC_{N}\)
\(min\)函数去掉,把关于\(j\)的值\(F_{j}\)\(sumC_{j}\)看作纵/横变量(由于\(j\)未知,\(F_{j},sumC_{j}\)会变化),其余部分看作常数,得
\(F_{j}=(S+sumT_{i})*sumC_{j}+F_{i}-sumT_{i}*sumC_{i}-S*sumC_{i}\)
\(k=S+sumT_{i},b=F_{i}-sumT_{i}*sumC_{i}-S*sumC_{i}\),则上述直线为一条以\(k\)为斜率,\(b\)为截距的直线.\(k\)已知,最小化\(F_{i}\),即为最小化截距\(b\).
所有待决策的点\((sumC_{j},F_{j})(j<i)\)可看作一个平面直角坐标系上的点集,观察可得有可能有贡献的点,一定形成一个下凸壳(相邻两点斜率递增)


实际上,对于一条斜率为\(k\)的直线,若某个顶点左边的线段斜率小于\(k\),右边的线段斜率大于\(k\),则它为决策点,如图

在本题中,每次会有一个新决策进入集合,横坐标递增,且\(S+sumT_{i}\)递增,所以,若我们只保留斜率大于\(S+sumT_{j}\)部分,则凸壳最左端最优
用单调队列维护凸壳,每次转移分3步:

  1. 检查队头,将斜率小于\(k\)的线段去掉
  2. 状态转移,算出\(F_{i}\)
  3. 将新决策从队尾插入,并维护凸壳
    \(O(N)\)
posted on 2024-09-07 21:40  Grylls_117  阅读(2)  评论(0编辑  收藏  举报