随笔 - 46 文章 - 0 评论 - 0 阅读 - 506

斜率优化DP

例题任务安排

题面

$n$ 个任务排成一个序列在一台机器上等待完成（顺序不得改变），这 $N$ 个任务被分成若干批，每批包含相邻的若干任务。

从零时刻开始，这些任务被分批加工，第 $i$ 个任务单独完成所需的时间为 $T_{i}$ 。在每批任务开始前，机器需要启动时间 $S$ ，而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和（同一批任务将在同一时刻完成）。

每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数 $C_{i}$ 。请确定一个分组方案，使得总费用最小。

思路

裸DP

求出 $T, C$ 前缀和 $s u m T, s u m C$ ,设 $F_{i, j}$ 表示把前 $i$ 个任务分成 $j$ 批的最小费用
$F_{i, j} = m i n$ { $F_{k, j - 1} + (S * j + s u m T_{i}) * (s u m C_{i} - s u m C_{k})$ }
$O (N^{3})$

费用提前计算

设 $F_{i}$ 示把前 $i$ 个任务分成若干批的最小费用
$F_{i} = m i n$ { $F_{j} + s u m T_{i} * (s u m C_{i} - s u m C_{j}) + S * (s u m C_{N} - s u m C_{j})$ }
$O (N^{2})$

斜率优化DP

对解法二进行优化，先对状态转移方程进行变形
$F_{i} = m i n$ { $F_{j} - (S + s u m T_{i}) * s u m C_{j}$ } $+ s u m T_{i} * s u m C_{i} + S * s u m C_{N}$
把 $m i n$ 函数去掉，把关于 $j$ 的值 $F_{j}$ 和 $s u m C_{j}$ 看作纵/横变量(由于 $j$ 未知， $F_{j}, s u m C_{j}$ 会变化)，其余部分看作常数，得
$F_{j} = (S + s u m T_{i}) * s u m C_{j} + F_{i} - s u m T_{i} * s u m C_{i} - S * s u m C_{i}$
设 $k = S + s u m T_{i}, b = F_{i} - s u m T_{i} * s u m C_{i} - S * s u m C_{i}$ ,则上述直线为一条以 $k$ 为斜率， $b$ 为截距的直线. $k$ 已知，最小化 $F_{i}$ ,即为最小化截距 $b$ .
所有待决策的点 $(s u m C_{j}, F_{j}) (j < i)$ 可看作一个平面直角坐标系上的点集，观察可得有可能有贡献的点，一定形成一个下凸壳（相邻两点斜率递增）

实际上，对于一条斜率为 $k$ 的直线，若某个顶点左边的线段斜率小于 $k$ ，右边的线段斜率大于 $k$ ，则它为决策点，如图

在本题中，每次会有一个新决策进入集合，横坐标递增，且 $S + s u m T_{i}$ 递增，所以，若我们只保留斜率大于 $S + s u m T_{j}$ 部分，则凸壳最左端最优
用单调队列维护凸壳，每次转移分3步：