题解(2024.7.8贪心)

1.Teleporters（Hard Version）

1. 题意：

有 n+2 个位置：0～n+1，给定n个数$a_1$～$a_n$ ,有以下操作：

• 向左/右移动一格，代价为 1。
• 传送回 0 位置或者 n+1 位置，记你当前的位置为 i，则代价为$a_i$。每个位置只能发动一次传送。
  求最大传送次数

2. 思路：

因为每次传送都会回到0/n+1号点，所以，到达i点并传送的代价为 min{i,n+1-i}+$a_i$ .
按照代价升序排序，从小到大取。
此时发现，第一次传送时，只能从0出发，会导致错误。
枚举第一个点为$fir$，代价为 $fir$+$a_{f}ir$ .
二分答案$mid$，表示传送$mid+1$次，此时总代价为：

• $fir<mid$ $:$ $(\sum _{i=1}^{mid}min(i,n+1-i)+a_i)+fir+a_{f}ir$
• $fir\ge mid$ $:$ $(\sum _{i=1}^{mid+1}min(i,n+1-i)+a_i)-min(fir,n+1-fir)+a_{fir}+fir+a_{fir}$
  判断即可

3. 时间复杂度

排序： $O(nlogn)$
枚举&二分 $O(nlogn)$
$O(nlogn)$

2.给树染色

1. 题意：

一颗树有$n$个节点,点有点权.现要将这棵树染色，对于任意节点，在被染色之前它的父亲节点必须已经染上了色。
每次染色的代价为 $T\ast A[i]$，其中$T$代表当前是第几次染色。
求把这棵树染色的最小总代价。

2. 思路：

将点权最大的点不断与其父节点合并，合并后新点点权为$\sum _{i=1}^n{a}_{N_i}/n$
证明合并后新点点权为$\sum _{i=1}^n{a}_{N_i}/n$：
设有两个已合并点级$N,M$。

• 交换前，染色代价为：
  $\sum _{i=1}^n{a}_{N_i}\ast (T+i)$ $+$ $\sum _{i=1}^m{a}_{M_i}\ast (T+n+i)$
• 交换后，染色代价为：
  $\sum _{i=1}^n{a}_{N_i}\ast (T+m+i)$ $+$ $\sum _{i=1}^m{a}_{M_i}\ast (T+i)$
  差为
  $\sum _{i=1}^m{a}_{M_i}\ast n-\sum _{i=1}^n{a}_{N_i}\ast m$
  大于零
  $\sum _{i=1}^m{a}_{M_i}\ast n>\sum _{i=1}^n{a}_{N_i}\ast m$
  $\sum _{i=1}^m{a}_{M_i}/m>\sum _{i=1}^n{a}_{N_i}/n$
  故合并后点权为
  $\sum _{i=1}^n{a}_{N_i}/n$

3. 时间复杂度

set维护 $O(nlogn)$