冥思苦想——商空间

　　虽然跟编程无关，但是学习的过程很想记录下来。
　　最近在北大蹭课，跟着大一的小朋友们学习高等代数，羞愧难当啊！想当年搞神马去了，现在基本概念都记不清了。
　　我哥哥教育我：一到高维空间你就搞不清，高代白学了！我感觉教训的是，结果补习的时候，他老人家又来教训我：你都这么大年纪了，居然还在学高代？
　　我觉得很无语，不过我这个妹子，就是有一种湖南人称之为霸蛮的气质。所以我还是坚持一周跑两次。毕竟本校已经没有在海淀校区的大一高代课程了，自学也不是那么简单的。


　　废话少说，直入主题！
　　上上周讲了商空间，我一直理解不了。关于商空间的准确数学定义，课本上好像都是作为补充内容，有的甚至没有列出，不过北大的老师很仔细得讲了很久，无奈我一时半会接受不了。冥思苦想了好久，还是不懂，相信很多同学在初学的时候都会遇到这样的问题。不要急，一个奇怪一点的知识点确实需要长期的思考。
　　首先列出我觉得有用的资料。
基本定义：http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/en/Quotient_space_(linear_algebra)
　　　　　　英文版，有中文翻译，但是那些语法和专业词汇实在让人受不了，和读ｇｏｏｇｌｅ翻译的东西一个感觉！建议英文难以接受的同学看维基百科
　　　　　　http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%95%86%E7%A9%BA%E9%97%B4　　
　　　　　　ｇｏｏｇｌｅ钟爱维基百科也不是没有道理，内容齐全，翻译健全。之前看了很多资料都是这个上面的。
　　基本定义有了这两个网址大概就可以了解了。扯一句题外话，用国外的资料学习数学有一个东西大家要努力克服，就是关于定义以及符号。我学习傅立叶变换应用的时候，居然看到了新的傅立叶变换的定义，一时非常难以接受。可是仔细钻研了以后发觉国外的教材教会我们用广泛的视野去看待一个问题，努力发掘问题与问题之间的联系。这才是学习的真谛！所以建议大家注重定义中的感性认识，对符号要有灵活变通的能力。
　　看过基本定义之后，推荐一本书中关于商空间的内容，北航出版的线性代数，是北航数院的大牛牛李尚志老师编写的。虽然整本书真的是太抽象了，又罗嗦，但是关于商空间的这一页纸的附录真的非常有用，至少是它帮助我突然冲出了瓶颈。
　　看过这些东西以后，我们对商空间应该有了全新的认识，下面我谈一下自己的理解，因为非常浅，希望看到问题的朋友不吝赐教！小女子感激不尽～
　　说到商空间，不得不提核空间，如果有一个空间ｖ以及一个ｖ上的线性变换（矩阵为Ａ），ｗ＝ｋｅｒ（Ａ）意味着在空间ｖ的一个子空间ｗ中的任意向量都映射到了０这个像上。很自然的我们可以找到两个向量ａ１，ａ２使得Ａ（ａ１－ａ２）＝０；此时ａ１－ａ２属于ｗ。（原谅我现在还没有用工具打公式，等我博客健全了就改！）这意味着Ａ（ａ１）＝Ａ（ａ２）＝ｂ，那么商空间ｖ／ｗ要做的事情就是把这些映射到ｂ的向量捏成一团，作为这个商空间的一个单元。我就是在这里很迷惑，因为我实在是不理解这个空间里的元素都是神马东东。其实不要迷惑，商空间不是简单的向量组成的空间，它是由很多向量团组成的空间。比如ａ１这个向量，所有和它同余（也就是满足Ａ（ａ１）＝Ａ（ａ２）＝ｂ）的向量都在同一个团里，我们不需要知道单独的它的性质，因为对于这样一个映射，他们被作用以后的效果都是一样的。这些向量团被称作同余类，记作［ａ１］，或者ａ１上加一杠。同余类的线性性质和普通向量没什么区别～很好玩。

　　接下来我们来感性认识一下这个商空间。除法大家都知道。ｃ＝ｄ＊ｅ＋ｆ．我们简单的可以认为，如果它是一个函数ｙ＝ｋｘ＋ｄ的话，很容易理解，ｋ是表征这个函数性质的最主要参数，ｄ只是改变它的位置而已。所以每一个ｋ决定了一簇直线。核空间中相当于包含的是这些簇直线中关于ｋ的信息。只要两条直线平行，他们的差就被映射到０，也就是说核空间只认同模否，同模就把他们的差捏成个小核儿，不管啦不管啦～

　　这时候把空间的基扯出来说。ｖ的基是ｅ１，ｅ２，。。。ｅｎ。那么核空间ｗ的基假设是ｅ１，ｅ２。。。ｅｒ。（ｒ＜ｎ）．那么也就是说上面说的ｋ完全可以由ｅ１，ｅ２。。。ｅｒ表示出来。那你一定奇怪，另外那些基呢？不要急，他们都安稳得呆在商空间ｖ／ｗ中。商空间中一个向量团中的向量又一个特点，就是它们在ｅ（ｒ＋１）。。。ｅｎ的分量都是一样的！这些分量都是用来表示函数式中的ｄ的信息了。也就是说只要ｅ（ｒ＋１）。。。ｅｎ现行组合不一样就一定是属于两个不同的同余类的。

　　用形象的话说，在商空间中，核空间的基都被可怜得忽视了，他们被捏成个小核就给扔了，留下来有用的信息都存在其他的基当中了。

　　这就是我得到的信息。我感觉商空间更像是余空间。

　　还有很多相关的内容，我也还在学习当中，有什么新想法就拿来分享吧～也很晚了，晚安各位程序员！