信息学竞赛中一类决策问题的通解

这里所谓一类决策问题，是指给你一个数的区间，然后你需要找到最小的满足条件的数或者最大的不满足条件的数，一般保证可二分性，即如果$x$满足条件，则所有$\ge x$的数都满足条件；如果$x$不满足条件，则所有$\le x$的数都不满足条件。

最简单的就是二分查找了。比如现在有6个数：1,3,6,10,15,21，再给一个$x(x\le 21)$，然后要询问$\ge x$的最小的数，这个直接二分就可以了。那么我们用所谓决策树的东西来考虑一下，就是这样子的：

上面这棵树就是所谓的决策树，每个非叶子节点表示一种决策，每一个叶子节点表示决策的结果，然后每一个叶子节点的深度就代表着需要决策的次数。

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我们来做一个题吧：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5781

这个题可以用Dp做出来，就不多说了其实我是不会啊，那么我们现在用决策树的角度来考虑考虑吧。

同样也是一棵二叉树，对于一个非叶子节点的决策$x$，我们同样令左儿子为$\le x$，右儿子为$>x$，那么我们也可以构造出一棵赛艇和上图差不多的决策树。只不过有一个限制，就是对于一条从根开始的链，走右儿子的边的次数不能超过$w$，也仅此而已。

然后题目要求决策次数期望最小值，即所有叶子节点的深度的平均值最小，所以我们可以考虑从根节点开始bfs，每次拓展两个儿子出来，直到拓展出了$k+1$个叶子节点为止，唯一的限制就是走了$w$次右儿子的点不能拓展，这样可以保证所有儿子的总深度最小。拓展完之后就把所有叶子节点的深度加起来除以$k+1$就是答案了。

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我们再来做一个题吧：有$n$瓶药，其中有且仅有一瓶有毒，你需要找出这瓶有毒的药。每次你可以选择一些药并吃下去，过了$L$秒后，如果那瓶有毒的药被吃了，那么你将产生相应的症状并需要休息$d$秒才能继续试药，否则你可以直接继续试药。问你在$T$秒的时间内是否一定能在这$n$瓶药中找到这瓶毒药，且在第T秒时不能有中毒症状。

同样我们考虑决策树，设左儿子为没有中毒，右儿子有中毒。那么一个节点的深度（这里的边有边权）为：$A\times L + B\times (L+d)$，其中$A$和$B$分别为走左儿子的次数和走右儿子的次数。那么一个点$u$是叶子节点当且仅当$T - L - d < dep_u \le T$，如果一个点的深度$\le T - L - d$，那么这个点还是可以继续拓展的，不会是叶子节点，然后一个点的深度显然是要$\le T$的。这里就解释了叶子节点的深度限制。于是接下来我们只需要算出来叶子节点的个数然后和$n$做个比较就可以了。

怎么求叶子节点个数呢？我们可以考虑枚举$B$，然后$A$的取值范围便可以根据上面说的不等式算出来。然后对于每一组$A$和$B$，叶子节点的个数为$\binom{A+B}{A}$，这就相当于是要向下走$A+B$次，要选$A$次走左儿子的方案数。然后对于一个固定的$B$，$A$的取值范围肯定是一个区间$[l,r]$，那么叶子节点的个数就是$\sum_{i=l}^{r}\binom{B+i}{B}=\binom{B+r+1}{B+1}-\binom{B+l}{B+1}$。所以我们就可以通过枚举$B$来算出叶子节点的总数了。

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总之决策树大概就是这么个东西，当然我这个也只是略懂皮毛，欢迎大家提出批评指正。