使用二叉树的递归套路来解决的问题
使用二叉树的递归套路来解决的问题
作者:Grey
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说明
二叉树的递归套路本质是二叉树的后序遍历,如果你需要你的左树给你一些信息,右树给你一些信息,然后整合得到当前节点的信息,就可以用二叉树的递归套路。
以下问题都可以使用二叉树递归套路来解决,时间复杂度\(O(N)\)(即:经历一次后续遍历的时间复杂度)
是否为平衡二叉树
如何判断一棵树是否是平衡二叉树?有下述三种情况:
-
平衡二叉树要么是一棵空树;
-
要么保证左右子树的高度之差不大于 1;
-
子树也必须是一颗平衡二叉树。
根据上述可能性,我们可以确认当前节点需要左右树给自己汇报如下三个信息。
-
左右树是否为平衡二叉树;
-
左右树的高度。
有以上二个信息,就可以判断上述的三种可能性了。
完整代码如下:
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
return process(root).isBST;
}
public Info process(TreeNode root) {
if (root == null) {
// 空树默认就是BST
return new Info(0, true);
}
Info left = process(root.left);
Info right = process(root.right);
// 根据左树和右树整合成 root 的信息
return new Info(Math.max(left.height, right.height) + 1, left.isBST && right.isBST && Math.abs(left.height - right.height) <= 1);
}
public class Info {
public int height;
public boolean isBST;
public Info(int height, boolean isBST) {
this.height = height;
this.isBST = isBST;
}
}
是否完全二叉树
什么是完全二叉树:每一层都是满的,或者即便不满,也是从左到右依次变满的
梳理一下一棵树是完全二叉树的可能性,对于一棵树的根节点 root:
-
如果左右树都是满二叉树,且左右树的高度一致,那么当前节点为根节点的树一定是满二叉树,当然也是完全二叉树。
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如果左树是满二叉树,右树是完全二叉树,且左树比右树高度大1,那么当前节点为根节点的树是完全二叉树。
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如果左树是满二叉树,右树是完全二叉树,且左右树的高度一致,此时当前节点为根节点的树也是完全二叉树。
-
如果左树是完全二叉树,右树是满二叉树,且左树高度比右树高度大1,此时当前节点为根节点的树也是完全二叉树。
除了上述四种可能性,其他情况下 root 为根节点的树都不是完全二叉树。
根据上述可能性,我们可以确认当前节点需要左右树给自己汇报如下三个信息。
-
左右树是否满二叉树
-
左右树是否完全二叉树
-
左右树的高度
有以上三个信息,就可以判断上述的三种可能性了。
完整代码如下
public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
return process(root).isComplete;
}
public Info process(TreeNode head) {
if (head == null) {
return new Info(true, true, 0);
}
Info left = process(head.left);
Info right = process(head.right);
int height = Math.max(left.height, right.height) + 1;
boolean isFull = left.isFull && right.isFull && (left.height == right.height);
boolean isComplete = isFull ||
(left.isFull && right.isFull && (left.height - right.height == 1)) ||
(left.isFull && right.isComplete && (left.height == right.height)) ||
(left.isComplete && right.isFull && (left.height - right.height == 1));
return new Info(isFull, isComplete, height);
}
public class Info {
public boolean isFull; // 是否为满二叉树
public boolean isComplete; // 是否为完全二叉树
public int height; // 树的高度
public Info(boolean isFull, boolean isComplete, int height) {
this.isFull = isFull;
this.isComplete = isComplete;
this.height = height;
}
}
是否为搜索二叉树
如何判断是否为二叉搜索树?即:中序遍历严格递增。
对于一棵树的根节点 root, 有下述三种情况:
-
如果当前节点左树右树都不为空,且左右树都是搜索二叉树,且当前节点值比左树最大值都大,比右树最小值要小,则以 root 为根节点的树是二叉搜索树。
-
如果左树为空,且右树是搜索二叉树,且当前节点值比右树最小值要小。
-
如果右树为空,且左树是搜索二叉树,且当前节点值比左树最大值要大。
-
如果左右树都是空,默认当前节点就是二叉搜索树
除此之外,以 root 为节点的二叉树都不是搜索二叉树。
根据上述可能性,我们可以确认当前节点需要左右树给自己汇报如下三个信息。
-
左右树的最大值
-
左右树的最小值
-
左右树是否是搜索二叉树
有以上三个信息,就可以判断上述的四种可能性了。
public boolean isValidBST(TreeNode root) {
if (root == null) {
return true;
}
return process(root).isBST;
}
public Info process(TreeNode head) {
if (head == null) {
return null;
}
Info left = process(head.left);
Info right = process(head.right);
if (left == null && right == null) {
return new Info(head.val, head.val, true);
}
if (left == null) {
// right != null
return new Info(Math.max(head.val, right.max), Math.min(head.val, right.min), head.val < right.min && right.isBST);
}
if (right == null) {
// right != null
return new Info(Math.max(head.val, left.max), Math.min(head.val, left.min), head.val > left.max && left.isBST);
}
// right != null && left != null;
return new Info(Math.max(head.val, Math.max(left.max, right.max)), Math.min(head.val, Math.min(left.min, right.min)), head.val > left.max && head.val < right.min && left.isBST && right.isBST);
}
public class Info {
public int max; // 最大值
public int min; // 最小值
public boolean isBST; // 是否为搜索二叉树
public Info(int max, int min, boolean isBST) {
this.max = max;
this.min = min;
this.isBST = isBST;
}
}
更多地,本题的最优解是 Morris 遍历,可以在满足时间复杂度\(O(N)\)的情况下,空间复杂度达到\(O(1)\)。
关于 Morris 遍历的说明见:Morris 遍历实现二叉树的遍历
完整代码如下
class Solution {
// Morris遍历,O(1)空间复杂度
public static boolean isValidBST(TreeNode root) {
if (root == null) {
return true;
}
boolean ans = true;
TreeNode pre = null;
TreeNode mostRight;
TreeNode cur = root;
while (cur != null) {
mostRight = cur.left;
if (mostRight != null) {
while (mostRight.right != null && mostRight.right != cur) {
mostRight = mostRight.right;
}
if (mostRight.right == null) {
mostRight.right = cur;
cur = cur.left;
continue;
} else {
if (pre != null && pre.val >= cur.val) {
ans = false;
}
pre = cur;
mostRight.right = null;
}
} else {
if (pre != null && pre.val >= cur.val) {
ans = false;
}
pre = cur;
}
cur = cur.right;
}
return ans;
}
}
什么时候用二叉树的递归套路,什么时候用 Morris 遍历
如果你需要你的左树给你一些信息,右树给你一些信息,然后整合,这个时候就用二叉树的递归套路。
如果你用完左树信息后,可以不用再管左树的信息了,那么就可以用Morris遍历。
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参考资料
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