使用位运算技巧比较两个数的大小

使用位运算技巧比较两个数的大小

作者：Grey

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题目要求

如何不要用任何比较判断符（\(>\),\(==\),\(<\)），返回两个 32 位整数中较大的那个。

主要思路

方法1（不考虑溢出）

要比较 a 和 b 的大小，因为不能用比较符号，我们可以通过 \(a - b\) 的符号位来判断，如果 \(a - b\) 的符号位是 1，说明 \(a - b < 0\)，则 a 小，否则 a 大或者 a 和 b 相等。

如何判断一个数的符号位是 0 还是 1 ？

由于是 32 位整数，所以可以将一个数右移 31 位，然后和 1 相与(&)，如果得到 1，则这个数是负数，如果得到 0，则这个数是正数。

举个具体例子，如果要求 a 和 b 谁大，我们可以先通过

((a - b) >> 31) & 1 得到一个值，如果这个值是 1 ，说明 a 小，否则 a 大或者 a 和 b 相等。

由于不能出现比较符号，所以无法使用如下代码

return ((a - b) >> 31) & 1 == 1?b:a;

也无法使用如下代码

if (((a - b) >> 31) & 1 == 1){
    return b;
}
return a;

但是我们可以巧妙利用((a - b) >> 31) & 1的结果去构造一个公式，这个公式可以在((a - b) >> 31) & 1 == 1情况下得到 b， 在((a - b) >> 31) & 1 == 0情况下得到 a。

我们可以利用一个反转函数

public int flip(int n) {
    return n ^ 1;
}

这个函数的作用就是，当\(n == 1\)时，返回 0，当\(n == 0\)时，返回 1，我们将判断符号的结果flip一次，如下代码

public static int sign(int n) {
    return flip((n >> 31) & 1);
}

这个方法的作用就是

当符号位是 1 的时候，返回 0，符号位是 0 的时候，返回 1。

有了flip函数后，

sign(a - b)如果得到 1， 则：\(a - b > 0\)，则返回 a。

sign(a - b)如果得到 0， 则：\(a - b <= 0\)，则返回 b。

公式可以定义成

sign(a - b) * a + flip(sign(a - b)) * b

主函数直接做如下调用

public static int getMax1(int a, int b) {
    int c = a - b;
    //当符号位是 1 的时候，scA = 0，符号位是 0 的时候，scA = 1。
    int scA = sign(c);
    // scA = 1 时，scB = 0，scA = 0时，scB = 1
    int scB = flip(scA);
    // 如果 scA = 0，说明 b 大，直接返回b
    // 如果 scA = 1，说明 a 大，直接返回a
    return a * scA + b * scB;
}

这个方法没有考虑溢出的情况，比如

a = 2147483647;
b = -2147480000;

\(a - b\)直接就溢出了，后面的算法就都不适用了。

方法2（考虑溢出情况）

那我们可以先比较 a 与 b 两个数的符号，

会有如下几种情况：

情况1：符号不同，则直接返回符号为正的那个数。

情况2：如果符号相同，则这种情况下,\(a - b\)的值绝对不会溢出，那么就看 c 的符号（c为正返回a，c为负返回b）

方法2的核心代码如下

int c = a - b;
int sa = sign(a);
int sb = sign(b);
int sc = sign(c);
// difSab = 1 表示 a 和 b 的符号位不一样
// difSab = 0 表示 a 和 b 的符号位一样
int difSab = sa ^ sb;
// sameSab = 1 表示 a 和 b 的符号位一样
// sameSab = 0 表示 a 和 b 的符号位不一样
int sameSab = flip(difSab);
int returnA = difSab * sa + sameSab * sc;
int returnB = flip(returnA);
return a * returnA + b * returnB;

其中: int difSab = sa ^ sb就是判断 a 和 b 的符号位是否一样，如果 difSab == 1，则 a 和 b 符号不一样，如果difSab == 0，则 a 和 b 符号一样。

只有当difSab == 0的时候，要考虑 c 的符号。因为difSab == 0,所以int returnA = 0 * sa + 1 * sc;，即int returnA = sc,如果 sc 为 1，说明 c 的符号位是 0，则\(a - b > 0\)，返回 a 即可，否则返回 b。

方法1和方法2的完整代码和测试代码如下：

// 不要用任何比较判断，返回两个数中较大的数
public class Code_GetMaxWithoutCompare {

    public static int flip(int n) {
        return n ^ 1;
    }

    public static int sign(int n) {
        return flip((n >> 31) & 1);
    }

    public static int getMax1(int a, int b) {
        int c = a - b;
        int scA = sign(c);
        int scB = flip(scA);
        return a * scA + b * scB;
    }

    public static int getMax2(int a, int b) {
        int c = a - b;
        int sa = sign(a);
        int sb = sign(b);
        int sc = sign(c);
        int difSab = sa ^ sb;
        int sameSab = flip(difSab);
        int returnA = difSab * sa + sameSab * sc;
        int returnB = flip(returnA);
        return a * returnA + b * returnB;
    }

    public static int right(int a, int b) {
        return Math.max(a, b);
    }

    public static int random(int min, int max) {
        return (int) ((max - min) * Math.random() + min);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int min = -999999;
        int max = 9999999;
        int testTimes = 100000;
        System.out.println("test begin");
        for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
            int a = random(min, max);
            int b = random(min, max);
            if (a == b) {
                continue;
            }
            if (right(a, b) != getMax1(a, b) || right(a, b) != getMax2(a, b)) {
                System.out.println("ops!");
                break;
            }
        }
        System.out.println("test finish");

        int a = 2147483647;
        int b = -2147480000;
        System.out.println(getMax1(a, b)); // wrong answer because of overflow
        System.out.println(getMax2(a, b));
    }
}

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