最长递增子序列

最长递增子序列

作者：Grey

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问题描述

LeetCode 300. 最长递增子序列

说明：这里的递增指的是严格递增，相等的时候不算递增。

暴力解法

dp[i]表示：

必须以i位置结尾的最长递增子序列是多少，如果求出了每个位置的dp[i]值，最大的dp[i]值，就是最长递增子序列的长度

显而易见

dp[0] = 1; // 必须以0位置结尾的最长递增子序列显然是1

针对一个普遍位置i，dp[i]至少是1，那dp[i]还能扩多少呢？取决于[0,i)之间的位置j，如果arr[j] < arr[i]，那么dp[i]可以是dp[j]+1。每次来到i位置，都遍历一下[0,i)之间的j位置的值是否可以和arr[i]位置连成最长递增子序列，整个暴力解法的时间复杂度是O(N^2)。暴力解法的完整代码如下：

public class LeetCode_0300_LongestIncreasingSubsequence {
    // 暴力解(O(N^2))
    public static int lengthOfLIS(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            return 0;
        }
        if (arr.length == 1) {
            return 1;
        }
        int max = 1;
        int[] dp = new int[arr.length];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            // dp[i]至少是1
            dp[i] = 1; 
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], arr[j] < arr[i] ? dp[j] + 1 : 1);
            }
            max = Math.max(dp[i], max);
        }
        return max;
    }
}

O(N*logN)解法

设置两个数组，含义如下

dp数组

长度和原数组长度一样，dp[i]表示必须以i结尾的，最长递增子序列有多长。

ends数组

长度和原数组长度一样，ends[i]表示所有长度为i+1的递增子序列中最小结尾是什么。

举例说明

以下示例图采用Processon绘制，地址见：最长递增子序列

其中i初始指向0位置，用-表示dp和ends数组中都未填数据，开始遍历原始数组arr。

当i来到0位置，arr[i]=3，显然：dp[i]=1，此时，所有长度为0+1的递增子序列中最小结尾是3。所以ends[i]=3，i来到下一个位置1。

当i来到1位置，arr[1] = 2，用arr[1]的值去ends数组中做二分查找，找大于等于arr[1]的最左位置，即ends数组的0位置，因为ends[0] = 3表示：所有长度为1的递增子序列中的最小结尾是3，所以arr[1]=2无法成长为长度为2的递增子序列，arr[1] = 2只能成长为长度为1的最长递增子序列，将ends[0]位置的值从3改成2。ends[0]左边包含自己只有1个数，所以dp[1] = 1。i来到下一个2位置。

此时，arr[2] = 1，用arr[2]的值去ends数组中做二分查找，找大于等于arr[2]的最左位置，即ends数组的0位置，因为ends[0] = 2表示：所有长度为1的递增子序列中的最小结尾是2，所以arr[2]=1无法成长为长度为2的递增子序列，arr[2] = 1只能成长为长度为1的最长递增子序列，将ends[0]位置的值从2改成1。ends[0]左边包含自己只有1个数，所以dp[2] = 1。i来到下一个3位置。

此时，arr[3] = 2，用arr[3]的值去ends数组中做二分查找，找大于等于arr[3]的最左位置，没有找到，则可以扩充ends数组，因为ends[0] = 1表示：所有长度为1的递增子序列中的最小结尾是1，而现在的arr[3]=2，所以arr[3]=2有资格成长为长度为2的递增子序列，设置ends[1]=2，ends[1]左边包含自己有2个比自己小的数，所以dp[3]=2，i来到下一个4位置。

此时，arr[4] = 3，用arr[4]的值去ends数组中做二分查找，找大于等于arr[4]的最左位置，没有找到，则可以扩充ends数组，因为ends[1] = 2表示：所有长度为2的递增子序列中的最小结尾是2，而现在的arr[4]=3，所以arr[4]=3有资格成长为长度为3的递增子序列，设置ends[2]=3，ends[2]左边包含自己有3个比自己小的数，所以dp[4]=3，i来到下一个5位置。

此时，arr[5] = 0，用arr[5]的值去ends数组中做二分查找，找大于等于arr[5]的最左位置，即ends数组的0位置，因为ends[0] = 1表示：所有长度为1的递增子序列中的最小结尾是2，所以arr[5]=0无法成长为长度为2的递增子序列，arr[5] = 0只能成长为长度为1的最长递增子序列，将ends[0]位置的值从1改成0。ends[0]左边包含自己只有1个数，所以dp[5] = 1。i来到下一个6位置。

此时，arr[6] = 4，用arr[6]的值去ends数组中做二分查找，找大于等于arr[6]的最左位置，没有找到，则可以扩充ends数组，因为ends[2] = 3表示：所有长度为3的递增子序列中的最小结尾是3，而现在的arr[6]=4，所以arr[6]=4有资格成长为长度为4的递增子序列，设置ends[3]=4，ends[3]左边包含自己有4个比自己小的数，所以dp[6]=4，i来到下一个7位置。

此时，arr[7] = 6，用arr[7]的值去ends数组中做二分查找，找大于等于arr[7]的最左位置，没有找到，则可以扩充ends数组，因为ends[3] = 4表示：所有长度为4的递增子序列中的最小结尾是4，而现在的arr[7]=6，所以arr[7]=6有资格成长为长度为5的递增子序列，设置ends[4]=6，ends[4]左边包含自己有5个比自己小的数，所以dp[7]=5，i来到下一个8位置。

此时，arr[8] = 2，用arr[8]的值去ends数组中做二分查找，找大于等于arr[8]的最左位置，即ends数组的1位置，因为ends[1] = 2表示：所有长度为2的递增子序列中的最小结尾是2，所以arr[8]=2无法成长为长度为3的递增子序列，arr[8] = 2只能成长为长度为2的最长递增子序列，将ends[1]位置的值改成arr[8]中的这个2。ends[1]左边包含自己只有2个数，所以dp[8] = 2。i来到最后一个9位置。

arr[9] = 7，用arr[9]的值去ends数组中做二分查找，找大于等于arr[9]的最左位置，没有找到，则可以扩充ends数组，因为ends[4] = 6表示：所有长度为5的递增子序列中的最小结尾是6，而现在的arr[9]=7，所以arr[9]=7有资格成长为长度为6的递增子序列，设置ends[5]=7，ends[5]左边包含自己有6个比自己小的数，所以dp[9]=6，终止。

原始数组arr的最长递增子序列长度为6。

暴力解法中，来到每个i位置需要找一遍[0,i)，复杂度是O(N^2)，现在有了ends数组的辅助，用二分法加速了这一过程，所以，这个解法的复杂度是O(N*logN)。

完整代码如下

public class LeetCode_0300_LongestIncreasingSubsequence {

    public static int lengthOfLIS(int[] arr) {
        if (null == arr || arr.length == 0) {
            return 0;
        }
        int N = arr.length;
        int[] dp = new int[N];
        int[] ends = new int[N];
        dp[0] = 1;
        ends[0] = arr[0];
        int l;
        int r;
        int right = 0;
        int max = 1;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            l = 0;
            r = right;
            while (l <= r) {
                int m = (l + r) / 2;
                if (arr[i] > ends[m]) {
                    l = m + 1;
                } else {
                    r = m - 1;
                }
            }
            right = Math.max(right, l);
            dp[i] = l + 1;
            ends[l] = arr[i];
            max = Math.max(max, dp[i]);
        }
        return max;
    }
}

类似问题

LeetCode 354. 俄罗斯套娃信封问题

主要思路

信封的两个维度的数据分别依据如下规则排序：

一维从小到大，二维从大到小，然后把二维数据拿出来，最长递增子序列就是嵌套层数。

举例说明：

假设信封数据如下：[[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]

按照一维从小到大，二维从大到小排序后的信封如下：[[2,3],[5,4],[6,7],[6,4]]

拿出二维数据的数组如下：[3,4,7,4]

这个数组的最长递增子序列是[3,4,7], 所以返回3层。

原理：

假设信封一维从小到大，二维从大到小，然后把二维数据拿出来后的数组为[a,b,c,d,e,f,g]，注：其中的字母只是抽象表示，不表示具体的数值大小。

我们调研任一位置，假设调研的位置是2号的c，根据排序策略，可以得到两个结论：

结论1：一维数据和c表示的信封一样的，二维数据不如c表示的信封的数据，一定在c的右边。这样的数据一定可以套入c里面

结论2：一维数据不如c的，二维数据也不如c的，一定在c的左边，c信封一定可以把这些数据套入

两部分内容不会干扰，所以最长递增子序列就是套的层数。

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算法和数据结构笔记

参考资料

算法和数据结构大厂刷题班-左程云