位运算

基本运算

运算	C++ 符号	意义
and	&	按位与
or	`	`
not	~	按位取反
xor	^	按位异或
shl	<<	左移
shr	>>	右移

注意运算符运算顺序优先级，可参考 https://www.cnblogs.com/greyqz/p/operator.html。

技♂巧

（源：江苏省淮阴中学薛志坚）

功能	示例	位运算
去掉最后一位	(101101 -> 10110)	x >> 1
在最后加一个 0	(101101 -> 1011010)	x << 1
在最后加一个 1	(101101 -> 1011011)	x << 1 + 1
把最后一位变成 1	(101100 -> 101101)	`x
把最后一位变成 0	(101101 -> 101100)	`x
最后一位取反	(101101 -> 101100)	x ^ 1
把右数第 k 位变成1	(101001 -> 101101, k = 3)	`x
把右数第 k 位变成0	(101101 -> 101001, k = 3)	x & !(1 << (k - 1))
右数第 k 位取反	(101001 -> 101101, k = 3)	x ^ (1 << (k - 1))
取末 k 位	(1101101 -> 1101, k = 5)	x & (1 << k - 1)
取右数第 k 位	(1101101 -> 1, k = 4)	x << (k - 1) & 1
把末 k 位变成 1	(101001 -> 101111, k = 4)	`x
末 k 位取反	(101001 -> 100110,k = 4)	x ^ (1 << k - 1)
把右边连续的 1 变成 0	(100101111 -> 100100000)	x & (x + 1)
把右起第一个 0 变成 1	(100101111 -> 100111111)	`x
把右边连续的 0 变成 1	(11011000 -> 11011111)	`x
取右边连续的 1	(100101111 -> 1111)	(x ^ (x + 1)) << 1
去掉右起第一个 1 的左边	(100101000 -> 1000)	x & !(x ^ (x - 1))（或 x & (-x)）

判断一个数 x 是否是 2 的整数次幂：

if (!(x&x-1))   // 法 1
if ((x&-x)==x)  // 法 2

Quick swap

a ^= b; b ^= a; a ^= b;

Quick min

inline int min(int a, int b) {
    int c = (a - b) >> 31;
    return a ^ c | b ^ ~c;
}

lowbit

\[\operatorname{lowbit}(n)=n ~\&~ (\sim n+1)=n~\&~(-n) \]

popcount

统计 1 的个数：

for (; x; x-=x&-x) ++cnt;

统计 0 的个数：

for (; x; x&=x-1) ++cnt;

统计 32 位无符号整数中 1 的个数：

inline int popcount(unsigned int i) {
    i=i-((i>>1)&0x55555555);
    i=(i&0x33333333)+((i>>2)&0x33333333);
    i=(i+(i>>4))&0x0f0f0f0f;
    i=i+(i>>8);
    i=i+(i>>16);
    return i&0x3f;
}

Quick log (Hash)

令 \(H[2^k \bmod 37]=k\)。因为 \(\forall k\in[0,35], 2^k \bmod 37\) 互不相等，且恰好取遍整数 1~36。

int H[37];

for (int i=0; i<36; ++i) H[(1ll<<i)%37]=i;

Quick Power

#include <cstdio>
#define ll long long

int n, m, mod;

int qpow(int x, int y) {
    int res=1%mod;
    for (; y; x=(ll)x*x%mod, y>>=1) if (y&1) res=(ll)res*x%mod;
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &mod);
    printf("%d\n", qpow(n, m));
    return 0;
}

Quick Multiply

#include <cstdio>
#define ll long long

ll n, m, mod;

ll qmul(ll x, ll y) {
    ll res=0;
    for (; y; x=(x<<1)%mod, y>>=1) if (y&1) res=(res+x)%mod;
    return res;
}

int main() {
    scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &mod);
    printf("%lld\n", qmul(n, m));
    return 0;
}

shortest Hamilton path

Hamilton 路径：从 0 到 \(n-1\) 不重不漏地经过每个点恰好一次。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=20;
 
int n, dist[N][N], f[1<<N][N];
 
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i=0; i<n; i++) for (int j=0; j<n; j++)
        scanf("%d", &dist[i][j]);
 
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0]=0;
    for (int i=1; i<1<<n; i++)
        for (int j=0; j<n; j++) if (i>>j&1)
            for (int k=0; k<n; k++) if ((i^1<<j)>>k&1)
                f[i][j]=min(f[i][j], f[i^1<<j][k]+dist[k][j]);
 
    printf("%d\n", f[(1<<n)-1][n-1]);
    return 0;
}

状态压缩动态规划

[SCOI2005] 互不侵犯

在 N×N 的棋盘里面放 K 个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 8 个格子。

// p1896
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 11, M = 2000;
int n, m;
ll ans, dp[N][M][N*N];
int s[M], t[M], cnt; 

void dfs(int x, int stat, int p) {
    if (x >= n) {
        s[++cnt] = stat, t[cnt] = p;
        return;
    }
    dfs(x+1, stat, p);
    dfs(x+2, stat|(1<<x), p+1);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    dfs(0, 0, 0);
    for (int i=1; i<=cnt; i++) dp[1][i][t[i]]=1;
    for (int i=2; i<=n; i++)
        for (int j=1; j<=cnt; j++)
            for (int k=1; k<=cnt; k++) {
                if (s[j] & s[k]) continue;
                if ((s[j]<<1) & s[k]) continue;
                if (s[j] & (s[k]<<1)) continue;
                for (int l=m; l>=t[j]; l--) 
                    dp[i][j][l] += dp[i-1][k][l-t[j]];
            }
    for (int i=1; i<=cnt; i++) ans += dp[n][i][m];
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

[USACO06NOV] Corn Fields

农场主 John 新买了一块长方形的新牧场，这块牧场被划分成 M 行 N 列 (1 ≤ M ≤ 12; 1 ≤ N ≤ 12)，每一格都是一块正方形的土地。John 打算在牧场上的某几格里种上美味的草，供他的奶牛们享用。遗憾的是，有些土地相当贫瘠，不能用来种草。并且，奶牛们喜欢独占一块草地的感觉，于是 John 不会选择两块相邻的土地，也就是说，没有哪两块草地有公共边。John 想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，一共有多少种种植方案可供他选择？（当然，把新牧场完全荒废也是一种方案）

// p1879
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 4197, M = 15, MOD = 100000000;
int n, m, dp[M][N], ans;
struct node { int s[N], st; } p[M];
int main() {
	scanf("%d%d", &m, &n);
	for (int i=1, a, t; i<=m; i++) {
		t = 0;
		for (int j=1; j<=n; j++) 
			scanf("%d", &a), t = (t<<1) + 1 - a;		
		for (int j=0; j< (1<<n); j++)
			if ((j&(j<<1))||(j&(j>>1))||(j&t)) continue;
			else p[i].s[++p[i].st] = j;
	}
	for (int i=1; i<=p[1].st; i++) dp[1][i] = 1;
	for (int i=2; i<=m; i++)
		for (int j=1; j<=p[i].st; j++)
			for (int k=1; k<=p[i-1].st; k++) 
				if (!(p[i].s[j] & p[i-1].s[k]))
                    dp[i][j] += dp[i-1][k];
	for (int i=1; i<=p[m].st; i++)
		ans = (ans + dp[m][i]) % MOD;
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}