NOIp 基础数论知识点总结

推荐阅读 NOIp 数学知识点总结: https://www.cnblogs.com/greyqz/p/maths.html

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Basic

常用素数表：https://www.cnblogs.com/greyqz/p/9845627.html

快速幂

int qpow(int x, int y) {
    int res = 1;
    for (; y; x = (ll)x * x % mod, y >>= 1)
        if (y & 1) res = (ll)res * x % mod;
    return res;
}

矩阵快速幂：

struct matrix {
    ll m[100][100];
    matrix operator * (matrix &a) {
        matrix b;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                b.m[i][j] = 0;
                for (int k = 0; k < n; k++)
                    b.m[i][j] = (b.m[i][j] + m[i][k] * a.m[k][j]) \% mod;
            }
        return b;
    }
} s;

matrix mpow(matrix a, ll k) {
    if (k == 1) return a;
    a = mpow(a, k / 2);
    if (k \% 2) return (a * a) * s;
    else return a * a;
}

matrix a = mpow(s, p);

乘法逆元

众所周知, 在模意义下没有标准的除法. 为了表示乘法的逆运算, 我们定义：

在 \({\rm mod}\ p\) 意义下, \(x\) 的乘法逆元记为 \(x^{-1}\), 即 \(x\cdot x^{-1}\equiv 1\pmod p\).

由此我们得到 \(\displaystyle \frac{x}{y}\equiv x\cdot y^{-1}\pmod p\).

费马小定理：对于任意素数 \(p\), 有 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\).

对费马小定理变形, 得 \(a\cdot a^{p-2}\equiv 1\pmod p\).

所以 \(a^{p-2}\) 即为 \(a\) 的乘法逆元. 对于非素数 \(p\), 不一定有乘法逆元.

由此, 使用快速幂求解乘法逆元：

inline int qpow(int n, int m, int mod) {
    ll tot = 1;
    for (ll k = n; m; k = k * k % mod, m >>= 1)
    	if (m & 1) tot = tot * k % mod;
    return tot;
}

inline int inv(int x, int mod) {
    return qpow(x, mod - 2);
}

拓展欧几里得算法用于在线性时间里求解关于 \(x,y\) 的方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组整数解.

当 \(b\) 为素数时, \(\gcd(a,b)=1\), 此时有 \(ax\equiv 1\pmod b\). 从而使用拓展欧几里得算法求解乘法逆元：

void exgcd(const int a, const int b, int &g, int &x, int &y) {
    if (!b) g = a, x = 1, y = 0;
    else exgcd(b, a % b, g, y, x), y -= x * (a / b);
}

inline int inv(const int num) {
    int g, x, y;
    exgcd(num, MOD, g, x, y);
    return ((x % MOD) + MOD) % MOD;
}

以上时间复杂度均为 \(O(\log a)\).

整除

最大公约数

辗转相除法（欧几里得算法）：

int gcd(int x, int y) {
	return !y ? x : gcd(y, x % y);
}

大整数意义下的快速更相减损术：

bint kgcd(bint a, bint b) {
	if (b == 0) return b;
	if (a < b) return kgcd(b, a);
	if (!(a&1) && !(b&1)) return kgcd(a>>1, b>>1) << 1;
	else if (!(b&1)) return kgcd(a, b>>1);
	else if (!(a&1)) return kgcd(a>>1, b);
	else return kgcd(b, a-b);
}

最小公倍数：\(\text{lcm}( a, b ) = a \div \gcd ( a, b ) \times b\). （先除后乘防爆 int. ）

线性筛法

素数分布定理：对于不大于 \(n\) 的自然数集合, 素数个数 \(\pi(x)\sim\displaystyle\frac{n}{\ln{n}}\).

Euler 筛法（一种最常见的线性筛法）：

基本思想：每个数只被最小的质因子筛一次, 即对于 \(a\) 是质数, \(b\) 的最小质因子不小于 \(a\) 的整数对 \(a, b\), 标记 \(ab\) 为合数实现：先枚举 \(b\), 再枚举 \(a\), 枚举到 \(a|b\) 时结束.

int p[N/lnN]; // 素数分布定理
bool com[N];

for (int i=2; i<=n; i++) {
	if (!com[i]) p[++p[0]]=i;
	for (int j=1; j<=p[0] && i*p[j]<=n; j++) {
		com[i*p[j]]=true;
		if (i%p[j]==0) break;
	}
}

素因数分解（筛法优化）：

int p[N/lnN], mfac[N];

for (int i=2; i<=n; i++) {
	if (!mfac[i]) p[++p[0]]=i;
	for (int j=1; j<=p[0] && i*p[j]<=n; j++) {
		mfac[i*p[j]]=p[j];
		if (i%p[j]==0) break;
	}
}

int fac[2 * sqrtN];  // 算术基本定理的推论
while (x > 1) {
    fac[++fac[0]] = mfac[x];
    x /= mfac[x];
}

数论函数

Bézout 定理：设 \(a, b\in \mathbf{Z}\), \((a, b) = d\), 存在 \(u,v\), 使得 \(ua+vb=d\).

算术基本定理（整数唯一分解定理）：对于正整数 \(a\), 等式 \(a=p_1^{e_1} p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n}\) 唯一确定.

积性函数：对于 \((m,n)=1\), \(m,n∈\mathbf{N}^*\), 有 \(f(mn)=f(m)f(n)\). 要么 \(f(n)=0, \forall n\in \mathbf{N}^*\), 要么 \(f(1)=1\).

完全积性函数：对于一切 \(m, n\in\mathbf{N}^*\), 有 \(f(mn)=f(m)f(n)\).

Möbius 函数：

\[\displaystyle \mu(n) = \begin{cases}1,\quad \ \ & n=1,\\ (-1)^k, \quad \ \ & n=p_1 p_2\cdots p_k,\\ 0,\quad \ \ & p^2 |n. \end{cases} \]

除数函数 \(\tau(n)\)：正整数 \(n\) 的正因数个数.

\[\displaystyle\tau(n)=\sum_{d|n} 1 = \prod_{i=1}^k (e_i+1), \]

其中 \(n=p_1^{e_1} p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\) (唯一确定).

除数和函数：

\[\displaystyle\sigma(n)=\sum_{d|n} d=\prod_{i=1}^k \frac{1-p_i^{e_i+1}}{1-p_i}, \]

其中 \(n=p_1^{e_1} p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\) (唯一确定). 积性函数.

Euler 函数 \(\varphi(n)\)：不超过正整数 \(n\) 的正整数 \(1,2,3,\ldots ,n-1\) 中与 \(n\) 互质的数的个数. 积性函数. \(\varphi(p)=p-1\).

\[\displaystyle\varphi(n)=n\prod_{i=1}^k (1-\frac{1}{p_i}). \]

void euler(int n) {
	for (int i=2; i<=n; ++i) phi[i]=i;
	for (int i=2; i<=n; ++i) if (phi[i]==i) 
		for (int j=i; j<=n; j+=i) phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

取整函数

Gauss 函数 \([x]\)：不大于 \(x\) 的最大整数. 又称整数部分.

一般地, 地板函数 $ \lfloor x\rfloor=[x] $, 天花板函数 $ \displaystyle \lceil x\rceil=\begin{cases} [x], & x\in \mathbf{Z}, \\ [x]+1, & x\notin \mathbf{Z}\end{cases} $, 小数部分 $ \lbrace x\rbrace=x-[x] $.

常用性质：

\[[x]+[y]\le [x+y]\le [x]+[y]+1. \]

任取 $ x\in\mathbf{R} $, 都有 $ \displaystyle\left[x\right]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=\left[2x\right] $.

\[[x]\cdot [y]\le [xy]. \]

\[\displaystyle\left[\frac{x}{n}\right]=\left[\frac{[x]+\{x\} }{n}\right] = \left[\frac{[x]}{n}+\frac{\{x\}}{n}\right]=\left[\frac{[x]}{n}\right]. \]

C++ 的默认取整方式为 向 0 取整。注意与取整函数的区别。

线性同余方程

拓展欧几里得算法：

void exgcd(const int a, const int b, int &g, int &x, int &y) {
    if (!b) g=a, x=1, y=0;
    else exgcd(b, a%b, g, y, x), y -= x*(a/b);
}

若方程 \(ax+by=c\) (\(a,b,c\in\mathbf{Z}\)) 的一组整数解为 \((x_0,y_0)\), 则它的任意整数解可以写成 \((x_0+kb',y_0-ka')\), 其中 \(\displaystyle a'=\frac{a}{\gcd(a,b)}\), \(\displaystyle b'=\frac{b}{\gcd(a,b)}\), \(\displaystyle k\in\mathbf{Z}\).

模线性方程组：

解方程 \(ax\equiv b\pmod n\): \(ax-b\) 即为 \(n\) 的倍数. 设 \(ax-b=ny\), 移项得 \(ax-ny=b\), 解线性同余方程即可.