A* 算法求第 K 短路

一种具有 \(f(n)=g(n)+h(n)\) 策略的启发式算法能成为 A* 算法的充分条件是：

• 搜索树上存在着从起始点到终了点的最优路径。
• 问题域是有限的。
• 所有结点的子结点的搜索代价值 \(>0\)。
• \(h(n) \le h^\ast (n)\) （\(h^\ast (n)\) 为实际问题的代价值）。

Remmarguts' Date

求 S 到 T 的第 K 短路。

思路：

(1) 将有向图的所有边反向，以原终点T为源点，求解T到所有点的最短距离。

(2) 新建一个优先队列，将源点S加入到队列中。

(3) 从优先级队列中弹出f(p)最小的点p，如果点p就是T，则计算T出队的次数。如果当前为T的第K次出队，则当前路径的长度就是S到T的第K短路的长度，算法结束；否则遍历与p相连的所有的边，将扩展出的到p的邻接点信息加入到优先队列。

— Z_Mendez

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;

int n, m, S, T, K, ans=-1;
int head[1005], nex[100005], to[100005], w[100005];
int rhead[1005], rnex[100005], rto[100005], rw[100005];
int h[1005]; bool v[1005];
struct node {
	int t, d;
	bool operator < (const node& A) const {return d>A.d; }
}; 
priority_queue<node> q;
struct star {
	int t, g, f;
	bool operator < (const star& A) const {return f>A.f || f==A.f && g>A.g; }
};
priority_queue<star> Q;

inline void add(int x, int y, int z) {
	nex[++head[0]]=head[x], head[x]=head[0], to[head[0]]=y, w[head[0]]=z;
}
inline void radd(int x, int y, int z) {
	rnex[++rhead[0]]=rhead[x], rhead[x]=rhead[0], rto[rhead[0]]=y, rw[rhead[0]]=z;
}

inline void astar() {
	if (S==T) ++K;
	if (h[S]==0x3f3f3f3f) return;
	Q.push((star) {S, 0, h[S]});
	register int cnt=0;
	
	while (!Q.empty()) {
		register star now=Q.top(); Q.pop();
		if (now.t==T) if (++cnt>=K) {ans=now.g; return; }
		for (int i=head[now.t]; i; i=nex[i])
			Q.push((star) {to[i], now.g+w[i], now.g+w[i]+h[to[i]]});
	}
}

int main() {
	while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
		memset(head, 0, sizeof head), memset(rhead, 0, sizeof rhead);
		for (int i=1, A, B, C; i<=m; ++i) scanf("%d%d%d", &A, &B, &C),
			add(A, B, C), radd(B, A, C);
		scanf("%d%d%d", &S, &T, &K);
		
		memset(h, 0x3f, sizeof h);
		q.push((node) {T, h[T]=0});
		while (!q.empty()) {
			register node now=q.top(); q.pop();
			if (v[now.t]) continue; v[now.t]=true;
			for (int i=rhead[now.t]; i; i=rnex[i])
				if (now.d+rw[i] < h[rto[i]])
					h[rto[i]] = now.d + rw[i], q.push((node) {rto[i], h[rto[i]]});
		}
		
		astar();
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}