算法题——立方体的体对角线穿过多少个正方体？

这道题是笔者当年参加竞赛的题目，多年来一直未得其解，久久不能释怀。近日，重新拿起该题细细研究，终于将其解出，著文以记之。

 

问题描述：

长方体长X，宽Y，高Z。X、Y、Z都是正整数。长方体由长1、宽1、高1的正方体堆积而成。那么长方体的体对角线穿过多少个正方体？

 

这个题考量三维空间的想象。近日研究的时候，尝试先考量二维的情况，在求解出二维的情况下，在推广到三维里。下面是二维情况下的问题描述

 

长方形长X，宽Y。X、Y都是正整数。长方形由长1、宽1的正方形组成。那么长方形的对角线穿过多少个正方形？

 

 

以实例说明。长方形长6，宽4。长方形由长1、宽1的正方形组成。那么长方形的对角线穿过多少个正方形？

这个还是比较简单的，直接用图表示即可，如下图所示：

 

 

如上图所示，对角线一共穿过8个正方形（灰色部分）。但是，我们不可能每个问题都画图表示，比如长777，宽581的长方形的解就很难画图表示（数字太大，不容易精确表示）。

仔细看看，这8个正方形实际上把对角线分成了8段。线段的端点是对角线和水平线（或竖直线）的交点。

于是，问题似乎可以转化成

要求穿过多少个正方形，实际上相当于求有多少个线段

要求有多少个线段，实际上相当于求对角线和水平线和垂直线的交点的个数

 

把上图放在平面直角坐标系中，左下角坐标为（0，0），右上角坐标为（6，4）

则对角线的直线方程为

 

 

和我们一般想象中的直线方程不太一样。没关系，首先这个是正确的直线方程，其次是为了和后面的三维中的直线方程的表现形式统一。

我们把对角线和水平线（或竖直线）的交点在图上标示出来（为了后文的描述方便，我用不同颜色标示点）

 

左下角的起点用灰色标示，红色的点标示对角线和竖直线的交点（交点的横坐标是整数），绿色的点标示对角线和水平线的交点（交点的纵坐标是整数）

起点不算，则穿过的方块数和线段数和点的个数一致（都是8个）。

 

红色点的坐标（横坐标是整数）分别是：

个数和长方形的长的数值是一致的（是6）

 

绿色点的坐标（纵坐标是整数）分别是：

个数和长方形的宽的数值是一致的（是4）

 

可以看出，红色点和绿色点有2个点是重合的（图上用半红半绿的点标示），因此这些点合在一起就是如下（按照和起点的远近来进行排序）

 

于是该问题的求解过程可以如下表示：

1、求出横坐标是整数的点的个数，就是长方形长的数值。本题是6

2、求出纵坐标是整数的点的个数，就是长方体宽的数值。本题是4

3、求出步骤1和步骤2中重合的点的个数，也就是横纵坐标都是整数的点的个数。本题是2

4、问题的答案：步骤1的答案+步骤2的答案-步骤3的答案。本题是6+4-2=8

 

步骤1、2、3、4中，关键是步骤3，如何求出步骤1和步骤2中重合的点的个数，也就是横纵坐标都是整数的点的个数。

 

最大公约数：正整数a和b，若a能被b整除，则a是b的倍数，b是a的约数。正整数a和b中约数最大的那个称为a和b的最大公约数，记作gcd（a，b）

 

本题中，（4，6）=2，正好是步骤3的答数，是巧合么？不是，接下来我们来证明。

 

证明：长X、宽Y的长方形，对角线经过双整数点（横纵坐标都是整数）的个数为gcd（X，Y）（注：不算起点）

证：令x₁=X/gcd（X，Y），y₁=Y/gcd（X，Y）。则x₁和y₁都是整数，且x₁和y₁互质（除1以外，没有公约数）。

对角线所在的直线方程为

当x取整数时（1≤x≤X）时，要使y也是整数，则x必须取x₁的倍数（这样才能把分母完全约掉）

而在1到X之间，x₁的倍数一共有gcd（X，Y）个

证明完毕

 

综上所述：长方形长X，宽Y。X、Y都是正整数。长方形由长1、宽1的正方形组成。那么长方形的对角线穿过多少个正方形？

其解为：Ans=X+Y-gcd（X，Y），可以用下图表示

 

例如：

长6，宽4的长方形的对角线穿过6+4-gcd（6，4）=6+4-2=8个正方形

长5，宽3的长方形的对角线穿过5+3-gcd（5，3）=5+3-1=7个正方形

长12，宽8的长方形的对角线穿过12+8-gcd（12，8）=12+8-4=16个正方形

 

扩展到三维。长方体长X，宽Y，高Z。X、Y、Z都是正整数。长方体由长1、宽1、高1的正方体堆积而成。那么长方体的体对角线穿过多少个正方体？

长X、宽Y、高Z的立方体的体对角线的直线方程是

这个方程虽然有点怪，但是学过空间解析几何的都明白这个方程的正确性

 

求解的过程和二维的类似，也是找寻坐标是整数的点。可以用下图表示：

 

 

其解为：Ans=X+Y+Z-gcd（X，Y）-gcd（X，Z）-gcd（Y，Z）+gcd（X，Y，Z）

例如：

长5，宽3，高4的长方体的体对角线穿过5+3+4-gcd（5，3）-gcd（5，4）-gcd（3，4）+gcd（5，3，4）=5+3+4-1-1-1+1=10个正方体

长8，宽6，高3的长方体的体对角线穿过8+6+3-gcd（8，6）-gcd（8，3）-gcd（6，3）+gcd（8，6，3）=8+6+3-2-1-3+1=12个正方体

长12，宽8，高6的长方体的体对角线穿过12+8+6-gcd（12，8）-gcd（12，6）-gcd（8，6）+gcd（12，8，6）=12+8+6-4-6-2+2=16个正方体

 

 

下图是长5，宽3，高4的长方体的体对角线穿过正方体的示意图，一共10个正方体，你看清了么？

 

 

 

这个题历时若干年，总是百思不得其解。也是今朝灵光一闪，终于把该题解决了。也总算是一块石头落了地