挑战能力——数字中不带9的正整数占所有正整数的比例是多少？

先解释一下题目。

举例说明：123456就是数字中不带9的正整数，124789是数字中带9的正整数。也可以知道，数字中带9的正整数和数字中不带9的正整数都有无穷多个。那数字中不带9的正整数占所有正整数的比例是多少？

 

咋眼一看，这个比例的精确值很难一下子算出来。人们对很难一下子计算出来的值都会有进行估算的天性。有人估算能力强，有人估算能力弱。那么估算看看，这个比例是多少？

 

是多少呢？考虑到有0-9十个数字，有人会说是9/10=0.9；有人觉得太高了，那么7/10=0.7怎么样；还太高，那么5/10=0.5差不多吧，这个答案已经让很多人狐疑了，那么少？0.3呢，有人会觉得疯了吧；0.1呢，太不可思议了，怎么可能呢？

 

还是用事实说话吧

 

假设现在有N（N≥1）位整数。那么从1到99……99（N个9）中，数字中不带9的正整数有多少个？

考虑到一共N位，则每位上只能取0-8这9个数字。那么数字中不带9的正整数一共有9*9*……*9*9（N个9）-1=9^N-1。（减去1是因为去掉00……00（N个0）=0这个数）

而1到99……99（N个9）一共有10^N-1个正整数。则N（N≥1）位整数中，数字中不带9的正整数所占的比例为

 

由计算可知，F₁=8/9≈88.89%；F₂=80/99≈80.81%；F₃=728/999≈72.87%；F₁₀=3486784400/9999999999≈34.87%

可以看到一个趋势，随着N的增大，比例F_N会越来越小。

 

那么，当N趋向于无穷大时，F_N会趋向于什么值呢？还是用计算来说话

可以看出，F_N会趋向于0，所以数字中不带9的正整数占所有正整数的比例是0，怎么样，结果出乎意料吧。但是通过计算是正确的（这儿0的概念更接近于无穷小的概念，而不是没有这个概念）

 

怎么会突然想到这个问题，源于近期在网上热议的论文《既发散又收敛的无穷级数》（上了正式刊物的论文，还有该论文的英文翻译版）。

从论文的题目看，既发散又收敛的无穷级数，本身充满者矛盾（无穷级数要么发散、要么收敛）

 

看了看论文，其中有一条重要的依据就是：“含有9的n位自然数”远少于“不含9的n位自然数”

然而现在说明了“不含9的n位自然数”所占的比例为0，那么“不含9的n位自然数”远少于“含有9的n位自然数”。

这也说明了《既发散又收敛的无穷级数》论文中重要依据不成立，该论文的观点也是错误的。

 

 

题外话：在计算数字中不带9的正整数占所有正整数的比例时，有了副成果。现在，贴于下方，以记之。

已知：G（1）=1；G（N）=G（N-1）*8+10^N-1

求：函数G（N）的通项公式

 

方法一：

G（N）=8G（N-1）+10^N-1

         =8（8G（N-2）+10^N-2）+10^N-1=8²G（N-2）+8¹10^N-2+8⁰10^N-1

         =8²（8G（N-3）+10^N-3）+8¹10^N-2+8⁰10^N-1=8³G（N-3）+8²10^N-3+8¹10^N-2+8⁰10^N-1

         ……

         =8^N-1G（1）+8^N-210¹+……+8¹10^N-2+8⁰10^N-1

         =8^N-110⁰+8^N-210¹+……+8¹10^N-2+8⁰10^N-1

        

 

 

方法二：

令：

则：

所以：

两式相减得：

再令：

得：，所以T（N）是等比数列

因为：，，所以

 

又因为：

所以：

最终：