类斐波那契数列的奇妙性质
1、1、2、3、5、8、13、21、……。这个数列称为斐波那契数列（Fibonacci Sequence）。
它有个奇妙的性质，记FN为斐波那契数列的第N项，则当N比较大的时候
FN/FN+1≈0.618
斐波那契数列有两个常见的通项公式（具体的推导过程就忽略了）
1、
FN=FN-1+FN-2（N>2），F1=1，F2=2
2、
![clip_image002[4]](http://images0.cnblogs.com/blog/93227/201304/30155120-d08b8f61d4c544abbc1fd8d1f6252e5c.png "clip_image002[4]")
这个数列的前两项F1=1，F2=1才称为斐波那契数列，如果这个数列的前两项是其他数字（正数），并且还有FN=FN-1+FN-2（N>2）的递推关系，那么这样的数列，我称之为类斐波那契数列，它是否还有当N比较大的时候，FN/FN+1≈0.618这个奇妙的性质呢？
答案是肯定的，比方说前两项是2和7，这个数列就是
2、7、9、16、25、41、66、……
F16=5024，F17=8129，F16/F17=0.618034199
这不是巧合，你换什么数字（正数）都一样
下面就给出该性质的证明
假设数列为FN=FN-1+FN-2（N>2），F1=A，F2=B，（A>0，B>0），证明：
![clip_image002[8]](http://images0.cnblogs.com/blog/93227/201304/30161801-ec948f8975fa47c3a65086a0c00bb06b.png "clip_image002[8]"){kind=small}
1、利用特征方程求出该数列的通项公式
∵FN=FN-1+FN-2
∴特征方程为X2=X+1
∴ ![clip_image002[10]](http://images0.cnblogs.com/blog/93227/201304/30161802-393d127893504db9a47129b22e73c98f.png "clip_image002[10]"){kind=small}
∴该数列的通项公式为
![clip_image002[12]](http://images0.cnblogs.com/blog/93227/201304/30161802-2e0a681258994c81a3604135c8985d5f.png "clip_image002[12]"){kind=small}
，其中C1和C2是常数，可以利用F1=A，F2=B求出。不过和本证明没啥太大的关系，没必要求出
题外话：想当年在高中的时候，费了九牛二虎之力求出斐波那契数列的通项公式，欢欣雀跃了很久。现在却发现在线性代数里用特征方程很简单的就求出了通项公式，真是悲哀啊。回头看看，有些年的高考数学压轴题，其实用大学里的数学知识去求解是很简单的。然而在高考中，却要使考生费九牛二虎之力，这算不算一种悲哀呢。再回头看看，有些小学奥数班的内容，用高中的知识很容易解决，但是非得把小学生绕得云里雾里，这算不算是一种悲哀呢
2、利用通项公式求出比值的极限
![clip_image002[14]](http://images0.cnblogs.com/blog/93227/201304/30170240-711e3f892e364f0b88693314474b15ad.png "clip_image002[14]")
∵![clip_image002[16]](http://images0.cnblogs.com/blog/93227/201304/30170242-7e88c30ea71b4a49814385a2e4f7b694.png "clip_image002[16]"){kind=small}
∴![clip_image002[18]](http://images0.cnblogs.com/blog/93227/201304/30170243-0ae40ac389344dbaaecc1b0aa113eec0.png "clip_image002[18]")
得证
这就证明了类斐波那契数列也有当N比较大的时候，FN/FN+1≈0.618这个奇妙的性质
玩个游戏吧，现在你想两个正数，然后相加得到第三个数，第二个数和第三个数相加得到第四个数，第三个数和第四个数相加得到第五个数，以此类推。
然后告诉我第十个数是多少？是280？那我告诉你第十一个数是453。你仅仅告诉我第十个数，没有透露任何其他消息，你没透露第九个数，我是怎么知道第十一个数呢？这不是巧合，而是通过计算而来的，你想明白了么？不明白的话，看看上面的证明，呵呵。
