24点算法之我见

之前发了一篇博文“24点的所有组合的解法”，有人颇不以为然。我想说的是，发这篇文章是说明我可以用计算机求出24点的所有组合的解法。而在实际的运用中，如果要使用24点的算法有时还不见得利用查表法来得简单和快速。毕竟，要短时间内写出正确的算法并验证，也不是一件很容易的事。

 

24点游戏的规则：给定4个正整数（1到10），利用加减乘除运算，得出运算结果为24的运算式

例如：

1，2，3，4——（1+2+3）*4=24

1，5，5，5——（5-1/5）*5=24

 

网上比较常见的24点算法是动态规划算法（这个在博客园中也能搜索到）。

 

定义6个二元运算符：加、减、乘、除、反减、反除

然后从4个数中任选2个数，通过一种运算（6个运算中的1个）得到一个新数

问题就演化成3个数的24点

 

重复上面的步骤，直到剩下一个数，如果这个数是24，则之前的运算过程就是24点的解答之一。如果这个数不是24，说明之前的运算不正确，再重新计算。如果所有的数的组合和运算的组合都尝试后，仍然没有找到解答，说明这4个数没有解

 

算一算运算一组解需要多少种可能性

第一步，从4个数中，任选两个数，6个运算符，则一共有C（4，2）*6=6*6=36

第二步，从3个数中，任选两个数，6个运算符，则一共有C（3，2）*6=3*6=18，则前两步一共有36*18=648种

第三步，6个运算符，则一共有6，最终求一组解的要搜索的可能性有648*6=3888种

 

上面是求一组解，要搜索的可能性，一共3888种

 

如果要得出所有组合的解，先要算出一共有多少种组合

4个数都不相同，C（10，4）=210

只有2个数相同，C（10，3）*3=360

2组2个数相同，C（10，2）=45

只有3个数相同，C（10，2）*2=90

4个数都相同，C（10，1）=10

则一共有210+360+45+90+10=715组

 

则求出所有组合的解，则一共要搜索715*3888=2779920种可能性

 

说白了，24点的算法就是一种穷举法

 

换一种思路，介绍我的24点的穷举法

上面的算法是对数和运算符进行穷举和搜索

 

我的算法是对运算式进行穷举

无论给什么样的是4个数，运算式总是不变的，举例来说：

N+N+N+N=24，这是一种运算式

N*N+N*N=24，这是另一种运算式

N/（N-N/N）=24，这又是另一种运算式

 

下面这个例子：

N+N-（N-N）=24

N+N-N+N=24

上面虽然是两种不同的运算式，但本质是同一种运算式（肯定同时成立或同时不成立），穷举的时候只要穷举其中一个就行了

 

再看下面这个例子

N/(N+N+N)=24

虽然是一个运算式，但是这个运算式是不可能成立的，也就是无解运算式，穷举的时候是不需要穷举该运算式的

下面这个表格是我整理的所有的运算式，其中有的运算式有等价运算式，有的运算式是无解运算式，按照上面的讲法，这两类运算式在穷举的时候都不需要穷举

 

24点运算式表
运算式	等价运算式	是否有解
+++
N+N+N+N=24
++-
N+N+N-N=24
++*
N+N+N*N=24
N+(N+N)*N=24
(N+N+N)*N=24
++/
N+N+N/N=24
N+(N+N)/N=24
(N+N+N)/N=24
+-+
N+N-N+N=24	N+N+N-N=24
N+N-(N+N)=24	N+N-N-N=24	无解
+--
N+N-N-N=24		无解
N+N-(N-N)=24	N+N-N+N=24 N+N+N-N=24
+-*
N+N-N*N=24		无解
N+(N-N)*N=24
(N+N-N)*N=24
+-/
N+N-N/N=24		无解
N+(N-N)/N=24		无解
(N+N-N)/N=24		无解
+*+
N+N*N+N=24
(N+N)*N+N=24
N+N*(N+N)=24	(N+N)*N+N=24
(N+N)*(N+N)=24
+*-
N+N*N-N=24
(N+N)*N-N=24
N+N*(N-N)=24	N+(N-N)*N
(N+N)*(N-N)=24
+**
N+N*N*N=24
(N+N)*N*N=24
(N+N*N)*N=24
+*/
N+N*N/N=24
(N+N)*N/N=24
(N+N*N)/N=24
+/+
N+N/N+N=24
(N+N)/N+N=24
N+N/(N+N)=24		无解
(N+N)/(N+N)=24		无解
+/-
N+N/N-N=24		无解
(N+N)/N-N=24		无解
N+N/(N-N)=24		无解
(N+N)/(N-N)=24		无解
+/*
N+N/N*N=24	N+N*N/N=24
(N+N)/N*N=24	(N+N)*N/N=24
(N+N/N)*N=24
N+N/(N*N)=24	N+N/N/N=24	无解
(N+N)/(N*N)=24	(N+N)/N/N=24	无解
+//
N+N/N/N=24		无解
(N+N)/N/N=24		无解
(N+N/N)/N=24		无解
N+N/(N/N)=24	N+N/N*N=24 N+N*N/N=24
(N+N)/(N/N)=24	(N+N)/N*N=24 (N+N)*N/N=24
-++
N-N+N+N=24	N+N+N-N=24
N-(N+N)+N=24	N-N-N+N=24 N+N-N-N=24	无解
N-(N+N+N)=24	N-N-N-N=24	无解
-+-
N-N+N-N=24	N+N-N-N=24	无解
N-(N+N)-N=24	N-N-N-N=24	无解
N-(N+N-N)=24	N-N-N+N=24 N+N-N-N=24	无解
-+*
N-N+N*N=24	N+N*N-N=24
N-(N+N)*N=24		无解
N-(N+N*N)=24		无解
(N-N+N)*N=24	(N+N-N)*N=24
(N-(N+N))*N=24	(N-N-N)*N=24
-+/
N-N+N/N=24		无解
N-(N+N)/N=24		无解
N-(N+N/N)=24	N-N-N/N=24	无解
(N-N+N)/N=24	(N+N-N)/N=24	无解
(N-(N+N))/N=24	(N-N-N)/N=24	无解
--+
N-N-N+N=24	N+N-N-N=24	无解
N-(N-N)+N=24	N-N+N+N=24 N+N+N-N=24
N-(N-N+N)=24	N-N+N-N=24 N+N-N-N=24	无解
N+N-N-N=24	N-N+N+N=24 N+N+N-N=24
N-N-(N+N)=24	N-N-N-N=24	无解
---
N-N-N-N=24		无解
N-N-(N-N)=24	N-N-N+N =24 N+N-N-N=24	无解
N-(N-N)-N=24	N-N+N-N=24 N+N-N-N=24	无解
N-(N-N-N)=24	N-N+N+N=24 N+N+N-N=24
N-(N-(N-N))=24	N-N+N-N=24 N+N-N-N=24	无解
--*
N-N-N*N=24		无解
N-(N-N)*N=24	N+(N-N)*N=24
(N-N-N)*N=24
(N-(N-N))*N=24	(N-N+N)*N=24 (N+N-N)*N=24
--/
N-N-N/N=24		无解
N-(N-N)/N=24	N+(N-N)/N=24	无解
(N-N-N)/N=24		无解
(N-(N-N))/N=24	(N-N+N)/N=24 (N+N-N)/N=24	无解
-*+
N-N*N+N=24	N+N-N*N=24	无解
(N-N)*N+N=24	N+(N-N)*N=24
N-N*(N+N)=24	N-(N+N)*N=24	无解
(N-N)*(N+N)=24	(N+N)*(N-N)=24
N-(N*N+N)=24	N-N*N-N=24 N-N-N*N=24	无解
-*-
N-N*N-N=24	N-N-N*N=24	无解
(N-N)*N-N=24
N-N*(N-N)=24	N+N*(N-N)=24 N+(N-N)*N=24
(N-N)*(N-N)=24
N-(N*N-N)=24	N-N*N+N=24 N+N-N*N=24	无解
-**
N-N*N*N=24		无解
(N-N)*N*N=24
(N-N*N)*N=24
-*/
N-N*N/N=24		无解
(N-N)*N/N=24
(N-N*N)/N=24		无解
-/+
N-N/N+N=24	N+N-N/N=24	无解
(N-N)/N+N=24	N+(N-N)/N=24	无解
N-N/(N+N)=24		无解
(N-N)/(N+N)=24		无解
N-(N/N+N)=24	N-N/N-N=24 N-N-N/N=24	无解
-/-
N-N/N-N=24	N-N-N/N=24	无解
(N-N)/N-N=24		无解
N-N/(N-N)=24	N+N/(N-N)=24	无解
(N-N)/(N-N)=24		无解
N-(N/N-N)=24	N-N/N+N=24 N+N-N/N=24	无解
-/*
N-N/N*N=24		无解
(N-N)/N*N=24	(N-N)*N/N
(N-N/N)*N=24
N-N/(N*N)=24	N-N/N/N=24	无解
(N-N)/(N*N)=24	(N-N)/N/N=24	无解
-//
N-N/N/N=24		无解
(N-N)/N/N=24		无解
(N-N/N)/N=24		无解
N-N/(N/N)=24	N-N/N*N=24 N-N*N/N=24	无解
(N-N)/(N/N)=24	(N-N)/N*N=24 (N-N)*N/N=24
*++
N*N+N+N=24	N+N+N*N=24
N*(N+N)+N=24	N+(N+N)*N=24
N*(N+N+N)=24	(N+N+N)*N=24
*+-
N*N+N-N=24	N-N+N*N=24
N*(N+N)-N=24	(N+N)*N-N=24
N*(N+N-N)=24	(N+N-N)*N=24
*+*
N*N+N*N=24
N*(N+N)*N=24	(N+N)*N*N=24
(N*N+N)*N=24	(N+N*N)*N=24
N*(N+N*N)=24	(N+N*N)*N=24
*+/
N*N+N/N=24
N*(N+N)/N=24	(N+N)*N/N=24
(N*N+N)/N=24	(N+N*N)/N=24
N*(N+N/N)=24	(N+N/N)*N=24
*-+
N*N-N+N=24	N-N+N*N=24
N*(N-N)+N=24	N+(N-N)*N=24
N*(N-N+N)=24	(N+N-N)*N=24
N*N-(N+N)=24	N*N-N-N=24
N*(N-(N+N))=24	N*(N-N-N)=24 (N-N-N)*N=24
*--
N*N-N-N=24
N*(N-N)-N=24	(N-N)*N-N=24
N*(N-N-N)=24	(N-N-N)*N=24
N*N-(N-N)=24	N*N-N+N=24 N-N+N*N=24
N*(N-(N-N))=24	N*(N-N+N)=24 (N+N-N)*N=24
*-*
N*N-N*N=24
N*(N-N)*N=24	(N-N)*N*N=24
(N*N-N)*N=24
N*(N-N*N)=24	(N-N*N)*N=24
*-/
N*N-N/N=24
N*(N-N)/N=24	(N-M2)*N/N=24
(N*N-N)/N=24
N*(N-N/N)=24	(N-N/N)*N=24
**+
N*N*N+N=24	N+N*N*N=24
N*N*(N+N)=24	(N+N)*N*N=24
N*(N*N+N)=24	(N+N*N)*N=24
**-
N*N*N-N=24
N*N*(N-N)=24	(N-N)*N*N=24
N*(N*N-N)=24	(N*N-N)*N=24
***
N*N*N*N=24
**/
N*N*N/N=24
*/+
N*N/N+N=24	N+N*N/N=24
N*N/(N+N)=24
N*(N/N+N)=24	(N+N/N)*N=24
*/-
N*N/N-N=24
N*N/(N-N)=24
N*(N/N-N)=24
*/*
N*N/N*N=24	N*N*N/N=24
N*N/(N*N)=24	N*N/N/N=24
*//
N*N/N/N=24
N*N/(N/N)=24	N*N/N*N=24 N*N*N/N=24
/++
N/N+N+N=24	N+N+N/N=24
N/(N+N)+N=24	N+N/(N+N)=24	无解
N/(N+N+N)=24		无解
/+-
N/N+N-N=24	N-N+N/N=24	无解
N/(N+N)-N=24		无解
N/(N+N-N)=24		无解
/+*
N/N+N*N=24	N*N+N/N=24
N/(N+N)*N=24	N*N/(N+N)=24
(N/N+N)*N=24	(N+N/N)*N=24
N/(N+N*N)=24		无解
/+/
N/N+N/N=24		无解
N/(N+N)/N=24		无解
(N/N+N)/N=24	(N+N/N)/N=24	无解
N/(N+N/N)=24		无解
N/((N+N)/N)=24	N/(N+N)*N=24 N*N/(N+N)=24
/-+
N/N-N+N=24	N-N+N/N=24	无解
N/N-(N+N)=24	N/N-N-N=24	无解
N/(N-N)+N=24	N+N/(N-N)=24	无解
N/(N-N+N)=24	N/(N+N-N)=24	无解
N/(N-(N+N))=24	N/(N-N-N)=24	无解
/--
N/N-N-N=24		无解
N/N-(N-N)=24	N/N-N+N=24 N+N/N-N=24	无解
N/(N-N)-N=24		无解
N/(N-N-N)=24		无解
N/(N-(N-N))=24	N/(N-N+N)=24 N/(N+N-N)=24	无解
/-*
N/N-N*N=24		无解
N/(N-N)*N=24	N*N/(N-N)=24
N/(N-N*N)=24		无解
(N/N-N)*N=24
/-/
N/N-N/N=24		无解
N/(N-N)/N=24		无解
(N/N-N)/N=24		无解
N/(N-N/N)=24
N/((N-N)/N)=24	N/(N-N)*N=24 N*N/(N-N)=24
/*+
N/N*N+N=24	N+N*N/N=24
N/N*(N+N)=24	(N+N)*N/N=24
N/(N*N+N)=24	N/(N+N*N)=24	无解
N/(N*(N+N))=24	N/N/(N+N)=24 N/(N+N)/N=24	无解
/*-
N/N*N-N=24	N*N/N-N=24
N/N*(N-N)=24	N*(N-N)/N=24
N/(N*N-N)=24		无解
N/(N*(N-N))=24	N/N/(N-N)=24 N/(N-N)/N=24	无解
N/(N*N)-N=24	N/N/N-N=24	无解
/**
N/N*N*N=24	N*N*N/N=24
N/(N*N)*N=24	N/N/N*N=24 N*N/N/N=24
N/(N*N*N)=24	N/N/N/N=24	无解
/*/
N/N*N/N=24	N*N/N/N=24
N/(N*N)/N=24	N/N/N/N=24	无解
N/(N*N/N)=24	N/N/N*N=24 N*N/N/N=24
//+
N/N/N+N=24	N+N/N/N	无解
N/N/(N+N)=24		无解
N/(N/N+N)=24	N/(N+N/N)=24	无解
N/(N/(N+N))=24	N/N*(N+N)=24 (N+N)*N/N=24
//-
N/N/N-N=24		无解
N/N/(N-N)=24		无解
N/(N/N-N)=24
N/(N/(N-N))=24	N/N*(N-N)=24 (N-N)*N/N=24
//*
N/N/N*N=24	N*N/N/N=24
N/N/(N*N)=24	N/N/N/N=24	无解
N/(N/N)*N=24	N/N*N*N=24 N*N*N/N=24
N/(N/N*N)=24	N/N*N/N=24 N*N/N/N=24
///
N/N/N/N=24		无解
N/N/(N/N)=24	N/N/N*N=24 N*N/N/N=24
N/(N/N)/N=24	N/N*N/N=24 N*N/N/N=24
N/(N/N/N)=24	N/N*N/N=24 N*N/N/N=24

 

算一算，要求出所有组合的解，需要穷举多少种可能

需要穷举的运算式一共有50个

之前说一共有715组，这715组每个组一共有4！=24中排列方式，24钟排列方式代入到50个运算式，则一共需要穷举

715*24*50=858000

 

是不是远小于之前的2779920种

 

既然都是穷举，还不如把所有的结果都保存起来，这样穷举的可能性就只有200种不到了，秒杀所有的算法

 

我想说的是，有时查表计算并不是一种坏的算法。要知道很多语言中求三角函数都是利用查表来快速计算的

 

 

最后，说一句题外话，请教各位网友一个计算机的问题

我有一台电脑，WIN7系统。近阶段出现一个怪现象

在开机进入系统后，插入U盘，能正确识别使用U盘

在过了一段时间后（大约半小时后），再插入U盘，要么没有反应，要么能识别出盘符，但是不能识别U盘内的东西。

重启系统后，还是在进入系统后能识别U盘，但过了一段时间，问题照旧。

哪位网友能给出解决方案？