算法题——投篮比赛获胜的概率

　　近日，在和他人闲暇无事的时候，进行篮球投篮比赛。由于本人的投篮命中率比较低，而他的投篮命中率比较高。因此，定了一个规则。采用积分制，初始积分为1分。他投篮，每投中一个球，积分加1分，继续投篮；投不中，换我投篮。我投篮，每投中一个球，积分减1分，继续投篮；投不中，换他投篮。若积分到11分，他获胜；若积分减到0分，我获胜。每局由他先投篮。

　　在进行若干局的比赛后，各有胜负。提出了一个问题：他获胜的概率是多少？

　　

　　把问题数字化

　　A和B两人进行投篮，A的命中率为70%，B的命中率为30%。初始积分为1分，每人投中继续投，投不中换人投。A投中积分加1分，B投中积分减1分。积分为11分时，A获胜；积分为0分时，B获胜。问：A获胜的概率是多少？

 

　　想到这个问题的时候，没有丝毫头绪。因此采用计算机模拟的方式来计算概率。

　　先写了一个函数

　　Private Function Winner(ByVal Steps As Integer, ByVal ParamArray P() As Double) As Boolean
　　　　Dim I As Integer = 1, J As Integer = 0
　　　　Do While I > 0 And I < Steps
　　　　　　If mR.NextDouble < P(J) Then
　　　　　　　　I += (-1) ^ J
　　　　　　Else
　　　　　　　　J = 1 - J
　　　　　　End If
　　　　Loop
　　　　Return (I > 0)
　　End Function

 

　　这个函数是模拟一次投篮。如下调用：Winner(11, 0.7, 0.3)。表示A的投篮命中是0.7，B的投篮命中是0.3，积分到11表示A获胜。函数返回True表示A获胜，返回False表示B获胜。

　　用了一个循环，模拟1000000局，统计A获胜的局数。得到如下结果：816628。

　　又反复执行了9个1000000局，结果如下：816502、815734、816220、816972、816756、816473、816636、816226、816290。可以看出，A获胜的概率大致为81.65%

 

　　如果积分到21分表示A获胜，那么A获胜的概率是多少呢？

　　还是上面的代码。模拟1000000局，统计A获胜的局数。执行10次。结果如下：

　　816116、816358、816242、816436、816677、816319、815949、815822、815860、816616

　　A获胜的概率大致为81.6%。没有想象中的差异那么大。只是略微少了那么一点点。

 

　　那么，如果用数学的计算方法，该如何计算呢？