文本比较算法Ⅸ——Primal-Dual算法
研究文本比较算法有一段时间。看到Primal-Dual算法，作为不同的求LCS算法，介绍如下。
原文在《An almost-linear time and linear space algorithm for the longest common subsequence problem》
比较文本：
A=a1a2a3……am
B=b1b2b3……bn
定义集合P={(i,j)|ai=bj}
则P={p1,p2,……,pl} pk表示(ik,jk)，1≤k≤l
定义三个比较运算符
①“∠”
px∠py 当且仅当 ix<iy,jx<jy
②“⊿”
px⊿py 当且仅当 ix≤iy,jx≥jy
③“≦”
px≦py 要么px∠py, 要么px⊿py
接下来，我们用例子阐述算法
A：481234781
B：4411327431
第一步：先求出集合P
P={P1=(1,1),P2=(1,2),P3=(1,8),P4=(3,3),P5=(3,4),P6=(3,10),P7=(4,6),P8=(5,5),
P9=(5,9),P10=(6,1),P11=(6,2),P12=(6,8),P13=(7,7),P14=(9,3),P15=(9,4),P16=(9,10)}
第二步：对集合P中的元素按照比较运算符≦排序，得到排序序列
p3≦p2≦p1≦p6≦p5≦p4≦p7≦p9≦p8≦p12≦p11≦p10≦p13≦p16≦p15≦p14
第三步：对集合P中的元素进行分组
在排序序列中，从头开始找出按照比较运算符⊿排序的子序列，可以得到
p3⊿p2⊿p1⊿p10
把这4个元素从队列中抽出来，组成C1组。则剩下的序列为
p6≦p5≦p4≦p7≦p9≦p8≦p12≦p11≦p13≦p16≦p15≦p14
再从头开始找出按照比较运算符⊿排序的子序列，可以得到
P6⊿p5⊿p4⊿p11
把这4个元素从队列中抽出来，组成C2组。则剩下的队列为
p7≦p9≦p8≦p12≦p13≦p16≦p15≦p14
再从头开始找出按照比较运算符⊿排序的子序列，可以得到
p7⊿p8⊿p15⊿p14
把这4个元素从队列中抽出来，组成C3组。则剩下的队列为
p9≦p12≦p13≦p16
再从头开始找出按照比较运算符⊿排序的子序列，可以得到
p9⊿p12⊿p13
把这三个元素从队列中抽出来，组成C4组。则剩下的队列为
p16
最后一个元素p16组成C5组
将上面的分组组成如下表格
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C1 |
C2 |
C3 |
C4 |
C5 |
|||||||||||
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p3 |
p2 |
p1 |
p10 |
p6 |
p5 |
p4 |
p11 |
p7 |
p8 |
p15 |
p14 |
p9 |
p12 |
p13 |
p16 |
|
L |
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|
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第四步：填充上面表格的L行，填充的依据如下
1、 C1组全部填充0
2、 后面组的每个元素都是填充，在排序序列中比自身靠前的，同时又是前一组中最后的元素
排序序列：p3≦p2≦p1≦p6≦p5≦p4≦p7≦p9≦p8≦p12≦p11≦p10≦p13≦p16≦p15≦p14
例如：p6元素
在C1组中排在p6前的元素有3个，分别是p3、p2、p1。P1是3个当中最后一个。
故 p6下填充p1 。
例如：p9元素
在C3组中排在p9前的元素只有1个，是p7。
故 p9下填充p7 。
填充后的表格
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C1 |
C2 |
C3 |
C4 |
C5 |
|||||||||||
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p3 |
p2 |
p1 |
p10 |
p6 |
p5 |
p4 |
p11 |
p7 |
p8 |
p15 |
p14 |
p9 |
p12 |
p13 |
p16 |
|
L |
0 |
0 |
0 |
0 |
p1 |
p1 |
p1 |
p1 |
p4 |
p4 |
p11 |
p11 |
p7 |
p8 |
p8 |
p13 |
最后一步：回溯LCS字符串
先从C5中p16找起，p16对应p13，再从p13找寻，p13对应p8。依次类推
p16→p13→p8→p4→p1
则(9,10)→(7,7)→(5,5)→(3,3)→(1,1)
故LCS字符串为
a1a3a5a7a9=b1b3b5b7b10=41371
此时最佳匹配为
A：48123478_1
B：4411327431
算法完成
这个算法能够找到至少一个LCS（注意，不一定能找到全部LCS，LCS不一定是唯一的）。但是，这个算法的空间占用为P的元素的个数，但是P的元素个数是O(n2)的。故本算法对于找最佳匹配不是一个好算法。不过对于开拓思路还是有用的，原来还可以这样算LCS。
