还贷的那些事III——等额还贷的计算

　　上文介绍了“等本还贷的计算”，作为目前银行提供的两大还贷方式，本文介绍另一种还贷方式：等额还贷

　　等额还贷：顾名思义，就是每月的还款额是一成不变的，其中，每月所还的本金在逐渐增加，每月所还的利息在逐渐减少。这种方式比较适合家境比较稳定的家庭，每月能固定支出一笔费用。

　　还是先定义变量，以及变量之间的关系。

　　1　　　　　　　　　　初始本金（广义上的本金，实际乘以一个倍数就可以了）

　　P　　　　　　　　　　利率。（一般指月利率，计算方式为年利率÷12）

　　N　　　　　　　　　　期数。（还款的次数，如贷款10年，则N=120）

　　Y_m　　　　　　　　　第m期还款额

　　X_m　　　　　　　　　第m期还款额中的本金

　　S_m　　　　　　　　　第m期还款额中的利息

　　T_m　　　　　　　　　第m期后剩余的本金

　　由上面的定义可知，上面的变量之间是有关联的，满足下列式子

　　　　1≤m≤N

　　　　Y_m=X_m+S_m　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　T₀=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

　　　　T_N=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

　　　　S_m=T_m-1×P　　　　　　　　　　　　　　　　④

　　　　T_m=T_m-1-X_m　　　　　　　　　　　　　　　⑤

　　　　X₁+X₂+X₃+……+X_N=1　　　　　　　　　　⑥

 

　　下面推导等本还贷的每月还款额。

　　由定义可知：

　　　　∵　　Y₁=Y₂=Y₃=……=Y_N

　　　　∴　　Y_m=Y_m+1

　　　　∴　　X_m+S_m=X_m+1+S_m+1　　　　　　　　　　　　　根据公式①

　　　　∴　　X_m+T_m-1P=X_m+1+T_mP　　　　　　　　　　　　根据公式④

　　　　∴　　X_m+T_m-1P=X_m+1+(T_m-1-X_m)P　　　　　　　　　根据公式⑤

　　　　∴　　X_m+T_m-1P=X_m+1+T_m-1P-X_mP

　　　　∴　　X_m(1+P)=X_m+1

　　　　∴　　X_m+1/X_m=1+P

　　　　∵　　X₁+X₂+X₃+……+X_N=1　　　　　　　　　　　根据公式⑥

　　　　∴　　X₁+X₁(1+P)+X₁(1+P)²+……+X₁(1+P)^N-1=1

　　　　∴　　X₁(1+(1+P)+(1+P)²+……+(1+P)^N-1)=1

　　　　∴　　X₁((1+P)^N-1)/P=1

　　　　∴　　X₁=P/((1+P)^N-1)

　　　　∴　　X_m=X₁(1+P)^m-1=P(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)

　　　　∴　　Y_m=Y₁=X₁+S₁=P/((1+P)^N-1)+P=P(1+P)^N/((1+P)^N-1)

　　所以每月的还款额为P(1+P)^N/((1+P)^N-1)，其中本金P(1+P)^m-1/((1+P)^N-1)

　　

　　感谢银河，参看他的文章后更改了自己公式的式样。也感谢他对我的文章的评论。

 

　　举例说明。贷款本金：10万元；贷款年限：10年；利率：5.31%

　　P=5.31%÷12=0.004425；N=120

　　下面是通过公式计算的数据

　　

月数	还款余额	还款本金	还款利息	月还款额
1	99366.63	633.37	442.50	1075.87
2	98730.45	636.18	439.70	1075.87
3	98091.46	638.99	436.88	1075.87
4	97449.64	641.82	434.05	1075.87
5	96804.99	644.66	431.21	1075.87
6	96157.48	647.51	428.36	1075.87
7	95507.10	650.38	425.50	1075.87
8	94853.85	653.25	422.62	1075.87
9	94197.70	656.14	419.73	1075.87
10	93538.66	659.05	416.82	1075.87
11	92876.69	661.96	413.91	1075.87
12	92211.80	664.89	410.98	1075.87
13	91543.96	667.84	408.04	1075.87
14	90873.17	670.79	405.08	1075.87
15	90199.42	673.76	402.11	1075.87
16	89522.68	676.74	399.13	1075.87
17	88842.94	679.73	396.14	1075.87
18	88160.20	682.74	393.13	1075.87
19	87474.44	685.76	390.11	1075.87
20	86785.64	688.80	387.07	1075.87
21	86093.79	691.85	384.03	1075.87
22	85398.88	694.91	380.97	1075.87
23	84700.90	697.98	377.89	1075.87
24	83999.83	701.07	374.80	1075.87
25	83295.66	704.17	371.70	1075.87
26	82588.37	707.29	368.58	1075.87
27	81877.95	710.42	365.45	1075.87
28	81164.39	713.56	362.31	1075.87
29	80447.67	716.72	359.15	1075.87
30	79727.78	719.89	355.98	1075.87
31	79004.70	723.08	352.80	1075.87
32	78278.42	726.28	349.60	1075.87
33	77548.93	729.49	346.38	1075.87
34	76816.21	732.72	343.15	1075.87
35	76080.25	735.96	339.91	1075.87
36	75341.04	739.22	336.66	1075.87
37	74598.55	742.49	333.38	1075.87
38	73852.77	745.77	330.10	1075.87
39	73103.70	749.07	326.80	1075.87
40	72351.31	752.39	323.48	1075.87
41	71595.59	755.72	320.15	1075.87
42	70836.53	759.06	316.81	1075.87
43	70074.11	762.42	313.45	1075.87
44	69308.32	765.79	310.08	1075.87
45	68539.13	769.18	306.69	1075.87
46	67766.55	772.59	303.29	1075.87
47	66990.54	776.01	299.87	1075.87
48	66211.10	779.44	296.43	1075.87
49	65428.21	782.89	292.98	1075.87
50	64641.86	786.35	289.52	1075.87
51	63852.03	789.83	286.04	1075.87
52	63058.70	793.33	282.55	1075.87
53	62261.87	796.84	279.03	1075.87
54	61461.50	800.36	275.51	1075.87
55	60657.60	803.91	271.97	1075.87
56	59850.13	807.46	268.41	1075.87
57	59039.10	811.04	264.84	1075.87
58	58224.47	814.62	261.25	1075.87
59	57406.24	818.23	257.64	1075.87
60	56584.40	821.85	254.02	1075.87
61	55758.91	825.49	250.39	1075.87
62	54929.77	829.14	246.73	1075.87
63	54096.96	832.81	243.06	1075.87
64	53260.47	836.49	239.38	1075.87
65	52420.27	840.19	235.68	1075.87
66	51576.36	843.91	231.96	1075.87
67	50728.71	847.65	228.23	1075.87
68	49877.32	851.40	224.47	1075.87
69	49022.15	855.17	220.71	1075.87
70	48163.20	858.95	216.92	1075.87
71	47300.45	862.75	213.12	1075.87
72	46433.88	866.57	209.30	1075.87
73	45563.48	870.40	205.47	1075.87
74	44689.23	874.25	201.62	1075.87
75	43811.10	878.12	197.75	1075.87
76	42929.10	882.01	193.86	1075.87
77	42043.19	885.91	189.96	1075.87
78	41153.35	889.83	186.04	1075.87
79	40259.59	893.77	182.10	1075.87
80	39361.86	897.72	178.15	1075.87
81	38460.17	901.70	174.18	1075.87
82	37554.48	905.69	170.19	1075.87
83	36644.79	909.69	166.18	1075.87
84	35731.07	913.72	162.15	1075.87
85	34813.30	917.76	158.11	1075.87
86	33891.48	921.82	154.05	1075.87
87	32965.58	925.90	149.97	1075.87
88	32035.58	930.00	145.87	1075.87
89	31101.46	934.11	141.76	1075.87
90	30163.21	938.25	137.62	1075.87
91	29220.81	942.40	133.47	1075.87
92	28274.24	946.57	129.30	1075.87
93	27323.49	950.76	125.11	1075.87
94	26368.52	954.97	120.91	1075.87
95	25409.33	959.19	116.68	1075.87
96	24445.89	963.44	112.44	1075.87
97	23478.19	967.70	108.17	1075.87
98	22506.21	971.98	103.89	1075.87
99	21529.93	976.28	99.59	1075.87
100	20549.33	980.60	95.27	1075.87
101	19564.38	984.94	90.93	1075.87
102	18575.08	989.30	86.57	1075.87
103	17581.41	993.68	82.19	1075.87
104	16583.33	998.07	77.80	1075.87
105	15580.84	1002.49	73.38	1075.87
106	14573.91	1006.93	68.95	1075.87
107	13562.53	1011.38	64.49	1075.87
108	12546.67	1015.86	60.01	1075.87
109	11526.32	1020.35	55.52	1075.87
110	10501.45	1024.87	51.00	1075.87
111	9472.05	1029.40	46.47	1075.87
112	8438.09	1033.96	41.91	1075.87
113	7399.56	1038.53	37.34	1075.87
114	6356.43	1043.13	32.74	1075.87
115	5308.68	1047.75	28.13	1075.87
116	4256.30	1052.38	23.49	1075.87
117	3199.26	1057.04	18.83	1075.87
118	2137.55	1061.72	14.16	1075.87
119	1071.13	1066.41	9.46	1075.87
120	0.00	1071.13	4.74	1075.87

 

　　和等本还贷比较，初期的还贷每月少200元左右，后期每月多200左右