二分法的研究

二分法的边界条件很重要，那么该边界条件是如何得到的呢？本文对这个问题给予简单的解答。

1. 二分法的中间值位置（主要研究向下取整，因为该操作符合C语言中整数除法的操作，另外向下取整得到的结果和如下结果相反）

　　用数组a[0..3]表示含有4个元素的数组，假设left=0,right=3，那么middle=(left+right)/2=1（c语言），对应的元素是a[1];

　　用数组b[0..2]表示含有3个元素的数组，假设left=0,right=2，那么middle=1，对应的元素是b[1];

　　用数组c[0..1]表示含有2个元素的数组，假设left=0,right=1,那么middle=0，对应的元素是c[0];

　　用数组d[0..0]表示含有1个元素的数组，假设left=0,right=0,那么middle=0，对应的元素是d[0];

　　上面的结果画成图，可以得到如下图，可以看出二分法向下取整的坐标，如果数组是奇数长度，那么中间值是位于正中的位置；如果数组是偶数长度，那么中间值是位于正中偏左的位置。那么在用中间值划分区间时，可以将左半边划分为[left,middle-1]，右半边划分为[middle+1,right]

　　

2. 二分法处理的数据空间

　　按照上面的划分方法，二分法处理的数据空间变化如下：

　　7个元素-->3个元素

　　6个元素-->3个元素或2个元素

　　5个元素-->2个元素

　　4个元素-->2个元素或1个元素

　　3个元素-->1个元素

　　2个元素-->1个元素或查找失败

　　1个元素-->查找成功或查找失败

　　可以看出，处理的边界就是while(left<=right)

3. 例题讲解

　　LeetCode 69题 Sqrt(x)

　　Implement int sqrt(int x).

　　Compute and return the square root of x.

　　该题用普通的遍历1到x来求平方根，算法复杂度是O(n)，但是用二分查找的算法复杂度是O(logn)，所以这里采用二分查找，具体的代码如下：

int bs(long long x, long long left, long long right){
    if(left>right)return (left+right)/2;//没有整数根，所以用近似根
    long long middle=(left+right)/2;
    if(middle*middle==x)return middle;
    else if(middle*middle<x)return bs(x,middle+1,right);
    else return bs(x,left,middle-1);
}

int mySqrt(int x) {
    return bs(x,1,x);
}