典题 收录

题：当\(x \geqslant 0\)时，\(mx \ln (x+1) +x+1 \leqslant e^x\)恒成立，求\(m\)的取值范围.

---

解析：
记\(f(x)=mx \ln (x+1) +x+1-e^x\)

则 \(f'(x)=m [ \ln (x+1) +\dfrac{x}{x+1} ] -e^x +1 ( x \geqslant 0).\)

(1) 若 $m \leqslant 0 $ 时，\(f'(x) \leqslant 0\)，故\(f(x)\)在\([ 0, +\infty )\)上单调递减，

从而\(f(x) \leqslant f(0) =0\).

(2) 若\(m>0\),由\(f''(x)=\dfrac{m}{x+1} +\dfrac{m}{(x+1)^2}-e^x\)单调递减，且\(f'(0)=2m-1\)，有

（i）当\(2m-1 \leqslant 0\)时，\(f''(x) \leqslant 0\),从而\(f'(x)\)在\([ 0, +\infty )\)上单调递减，

由\(f'(0)=0\)得，\(f(x)\)在\([ 0, +\infty )\)上单调递减，

故\(f(x) \leqslant f(0) =0\).

(ii) 当\(2m-1>0\)时，由\(f''(0)>0\),必存在\(x_0\)，使得\(f'‘’(x_0)=0\),从而\(f'(x)\)在\((0,x_0)\)上单调递增，在\((x_0,+\infty)\)上单调递减.

又由\(f'(0)=0\),故必存在\(x_1\)，使得\(f'(x_1)=0\),从而\(f(x)\)在\((0,x_1)\)上单调递增，在\((x_1,+\infty)\)上单调递减.

因为\(f(0)=0\)，故\(f(x)\)不可能恒小于\(0\).

综上所述，当\(m \leqslant \dfrac{1}{2}\)时，恒有\(f(x) \leqslant 0\).