【笔记】组合数学
开新坑辣。。。。。
排列组合
排列：P(n,r) = n! / (n-r)!
组合：C(n,r) = n! / r!(n-r)!
圆排列：P(n,r) / r
多重集排列：
- 令Ｓ是一个多重集，它有ｋ个不同类型的元素，每一个元素都有无穷重复个数。那么Ｓ的r-排列的个数为k^r。
- 令Ｓ是一个多重集，它有ｋ个不同类型的元素，各元素重数为n1,n2,...,nk。设Ｓ的大小为n = n1 + n2 + ... + nk。则排列数等于n! / (n1!n2!...nk!)
抽屉原理（鸽巢原理）
wiki百科介绍
理解起来还是比较容易的，拓展有拉姆齐定理（虽然是图论上的内容）
特殊序列
掌握它们的应用和推导方式
Catalan序列
wiki百科介绍
前20项为（OEIS中的数列A000108）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190
Stiring数
wiki百科介绍
第一类：将ｐ个有区别的球排成ｋ个非空的圆排列的方案数
第二类：将ｐ个有区别的球放到ｋ个相同盒子中，奥球没有空盒的方案数
两者关系：
容斥原理
错位排列
公式法：
递推法：
考察ｎ≥３时的错位排列，把数字ｎ单独拿出来看，先把ｎ放在第ｎ位。设Ｐ是｛1,2,...,n-1}的一个排列
- 如果Ｐ是一个错位排列，把其中任意一个数与ｎ交换仍然是一个错位排列，这样的情形可以得到(n-1)D_n-1个{1,2,...,n}的错位排列
- 如果Ｐ不是错位排列，并且只存在一个位置不符合要求(P_x = x)将ｘ和ｎ交换后又是一个错位排列。这里可以得到(n-1)D_n-2个{1,2,...,n}的错位排列。
- 其他情形都不能得到错位排列
D_n = (n-1)(D_n-1 + D_n-2) (D1 = 0, D2 = 1)
Mobius反演
NULL
棋盘多项式
母函数（生成函数）
普通型生成函数讲解
在学习FFT的时候，已经知道可以用卷积来计算生成函数计数问题，它可以针对一般的多项式计算乘积，而在整数拆分这个问题里，有ｎ个表达式，需要做ｎ次卷积，复杂度Ｏ(ｎ²ｌｏｇｎ)，但FFT常数是很大的，观察得知每个多项式是很有规律的，它的第ｉ个多项式中系数为１的项都间隔了ｉ－１个系数为０项，所以我们可以用一个每次变化ｉ－１的ｋ循环来遍历得到每层卷积后的多项式
指数型生成函数讲解
Polya计数定理
置换群
- 首先给你一个序列，假如： s = {1 2 3 4 5 6}
然后给你一个变换规则 t = {6 3 4 2 1 5}
就是每一次按照t规则变换下去
第一次：6 3 4 2 1 5
第二次：5 4 2 3 6 1
第三次：1 2 3 4 5 6
发现经过几次会变换回去，再变换下去就是循环的了，这就是一个置换群
我们可以这样表示一个置换群，比如按照上面变化规则
1->6->5->1 这些是一个轮换
2->3->4->2 这些是一个轮换
所以可以写为 t = { {1 6 5},{ 2 3 4 } } - 如果一个状态经过置换f后跟原来相同，
即S[1]=S[a1],S[2]=S[a2],…,S[n]=S[an]
则称该状态为f 的不动点。 - 题目中常常出现“本质不同的方案数”，一般是指等价类的数目，题目定义一个等价关系，满足等价关系的元素属于同一等价类。等价关系通常是一个置换集合F，如果一个置换能把其中一个方案映射到另一个方案，则二者是等价的。
那么，置换构成的群就是置换群，就是交换排列顺序而已
二面体群
wiki百科介绍
翻转本质上也是一种置换规则
Burnside引理
设Ｇ是集合Ｘ上的一个置换群（可以理解为合理的所有的置换方案的集合），S(g)为Ｃ中的不动点的着色集合，则可以证明等价类数目为所有S(g)的平均值。
- 一正方形分成4格，2着色，有多少种方案？其中，经过转动相同的图象算同一方案
对于每种格子我们都有两种选择，所以会有一下16种方案
- 不动：所有的情况都是不动点 16
- 旋转90° (1)(2)是不动点 ２
- 旋转180° (1)(2)(11)(12)是不动点 ４
- 旋转270° (1)(2)是不动点 ２
（１６＋２＋４＋２）／４＝６种
Polya计数定理
先把所有方案重复计算相同的次数，再把结果除以重复的次数
设Ｇ是集合ｘ上的一个置换群，Ｘ中每个元素可以被染成ｋ种颜色，则不等价的着色数为：Ｐ＝(1 / |G|) *∑K^(nc(g))，nc(g) 为置换中循环节的个数
