博弈论--Nim游戏

Nim游戏是博弈论中最经典的模型（之一），它又有着十分简单的规则和无比优美的结论 Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，准确来说，属于“Impartial Combinatorial Games”

Nim游戏具体游戏规则为：有n堆石子，两名选手，每个选手可以拿一堆石子中的任意多个，谁面对无石子可拿的情况时就为负。

定义：先手必败状态 定义为走不到任何一个必败状态，为状态P

　　　先手必胜状态 定义为能够走到一个必败状态，为状态N

 根据定义出发，模拟（2，2）的必败场景

 

 

 因为（0，2）能到（0，0），所以（0，2）为N状态

因为（1，1）只有（0，1）一个后继态，而（0，1）为N态，所以（1，1）为P态。所以（1，2）为N态

所以（2，2）有且只有两个N态，所以（2，2）是一个P态

即面对（2，2）的情况，先手必败。

 

既然如此，给定n堆石子就可以求出当前状态是N或P，但是时间复杂度过高哪怕用上记忆化搜索或者DP，时间复杂度为O ( max(a1,a2...an) )，而0<=ai<=1e9

显然是不能再1s钟内算出答案。

所以数学家们想到了一个绝妙的方法：利用异或

 

记 t = a1^a2^a3^...^an

若t=0，则当前状态为P，即先手必败

否则则为N，即先手必胜

证明：若需证明上述定理，则需要证明

（1）最终的全零态被判定为P态

（2）被判定为N态的一定可以移动到某一个P态

（3）被判定为P态的，一定不能移动到某一个P态

 

 

 

 所以可以直接通过上边的定理得出当前是一个P态或者N态

#include<iostream>
using namespace std;
int main(void){
    int n;
    cin>>n;
    int res;
    cin>>res;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int t;
        cin>>t;
        res^=t;
    }
    if(res==0){
        cout<<"No";
    }else{
        cout<<"Yes";
    }
}

 

 

Nim游戏变种--台阶Nim游戏

题目：https://www.acwing.com/problem/content/894/

 

 

#include<iostream>
using namespace std;
int main(void){
    int n;
    cin>>n;
    int res=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        if(i%2==0)
            res^=x;
    }
    if(res) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}