基础数论--扩展欧几里得算法

正常的欧几里得算法

int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

可以在O(n)的时间复杂度内，求出a和b两数的最大公约数。

而扩展欧几里得算法则可以在求出最大公约数的同时，求出两个数x，y，使得x*a+y*b=gcd(a,b)，用处就是可以用来求解线性同余方程（写在下边）

//推荐第二种写法
#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd1(int a,int b,int& x,int& y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }else{
        int d=exgcd1(b,a%b,x,y);
        int t=y;
        y=x-(a/b)*y;
        x=t;
        return d;
    }　　
}
int exgcd2(int a,int b,int& x,int& y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }else{
        int d=exgcd2(b,a%b,y,x);
        y=y-(a/b)*x;
        return d;
    }
}
int main(void){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int a,b,x,y;
        cin>>a>>b;
        exgcd2(a,b,x,y);
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }
    return 0;
}

第一种证明，第二种类似

 

求解同余方程

同余方程的定义，给定a,b,m，求出一个满足条件的x，使得a*x=b(mod m)。

也就是a*x=b+y*m，令y′=-y，得

x*a+ y′ *m=b，这就和上边的扩展欧几里得完全符合

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int exgcd(int a,int b,int& x,int& y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }else{
        int d=exgcd(b,a%b,y,x);
        y=y-(a/b)*x;
        return d;
    }
}
int main(void){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int a,b,m;
        int x,y;
        cin>>a>>b>>m;
        int d=exgcd(a,m,x,y);
        if(b%d==0){
            cout<<(LL)(b/d)*x%m<<endl;//%m是为了保证答案在m的范围内
                                      //% m 仍然是正确的是因为，相当于将y′增加了
        }else{
            cout<<"impossible"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

既然能解同余方程的话，那就能够求逆元，只不过逆元是更加特殊的情况，b=1

具体的可以翻一翻博客。