常见的排序算法——堆排序（五）

本文记述了堆排序改用前序表示法基本思想和一份参考实现代码，并在说明了算法的性能后用随机数据进行了验证。

◆ 思想

堆排序算法按照层次操作堆中的元素，即物理位置 k 的结点与位置 2k 或 2k+1 的结点交换。然而用前序表示的堆，其父子结点的位置关系不能简单地计算出来。因此，当算法模型（逻辑上）用的位置与内存存储（物理上）用的位置不一致时，需要建立从逻辑上到物理上的映射关系。笔者用一个额外的数组存放物理位置，而数组的索引被用作逻辑位置。

在构建堆之前生成该映射关系，然后按照既有的排序算法排序。排序得到的是按照层次操作后的结果。因此，在排序结束后，再借助映射关系，将层次关系转变回前序关系，进而得到正确的排序结果。

◆ 实现

排序代码采用《算法（第4版）》的“排序算法类模板”实现。(代码中涉及的基础类，如 Array，请参考算法文章中涉及的若干基础类的主要API）

// heap5.hxx

...

class Heap5
{

    ...
    
    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    sort(Array<_T> & a)
    {
        int N = a.size();
        Array<int> pstns(N+1);
        int p = 0;
        __position__(1, &p, pstns);                 // #1
        for (int k = N/2; k >= 1; --k)              // #3
            __sink__(a, k, N, pstns);
        while (N > 1) {
            __exch__(a, 1, N, pstns);
            --N;
            __sink__(a, 1, N, pstns);
        }
        Array<_T> t(a.size());
        for (int i = 0; i < a.size(); ++i) t[i] = a[i];
        for (int i = 0; i < a.size(); ++i) a[i] = t[pstns[i+1]-1];      // #5
    }
    
    ...

    /*
     * pstns[]
     *  array index is the position in level of binary tree. 0 is NOT used.
     *  array value is the position in preorder of binary tree. 0 is NOT used.
     *
     */
    static
    void
    __position__(int k, int * p, Array<int> & pstns)
    {
        if (k >= pstns.size()) return;
        pstns[k] = ++*p;                            // #2
        __position__(k*2,   p, pstns);
        __position__(k*2+1, p, pstns);
    }

    ...

    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    __sink__(Array<_T> & a, int k, int n, Array<int> & pstns)
    {
        while (2*k <= n) {
            int j = 2*k;
            if (j < n && __less__(a[pstns[j]-1], a[pstns[j+1]-1])) ++j;     // #4
            if (!__less__(a[pstns[k]-1], a[pstns[j]-1])) break;
            __exch__(a, k, j, pstns);
            k = j;
        }
    }

    ...
    
    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    bool
    __less__(_T const& v, _T const& w)
    {
        return v.compare_to(w) < 0;
    }

    ...
    
    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    __exch__(Array<_T> & a, int i, int j, Array<int> & pstns)
    {
        _T t = a[pstns[i]-1];                       // #4
        a[pstns[i]-1] = a[pstns[j]-1];
        a[pstns[j]-1] = t;
    }

    ...

在构建堆之前生成该映射关系（#1），递归处理从逻辑上到物理上的映射关系（#2）。按照既有的排序算法构建堆并排序（#3），过程中要借助映射关系把逻辑上的位置转变为物理上的位置（#4）。在排序结束后，再次借助映射关系，将层次关系转变回前序关系（#5），得到正确的排序结果。

◆ 性能

时间复杂度	空间复杂度	是否稳定
N*log(N)	N+1	否

【注】空间复杂度中还需包括存放索引的空间。

◆ 验证

测试代码采用《算法（第4版）》的倍率实验方案，用随机数据验证其正确性并获取时间复杂度数据。

// test.cpp
    
...

time_trial(int N)
{
    Array<Double> a(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) a[i] = Std_Random::random();    // #1
    Stopwatch timer;
    Heap5::sort(a);                     // #2
    double time = timer.elapsed_time();
    assert(Heap5::is_sorted(a));            // #3
    return time;
}

...

test(char * argv[])
{
    int T = std::stoi(argv[1]);          // #4
    double prev = time_trial(512);
    Std_Out::printf("%10s%10s%7s\n", "N", "Time", "Ratio");
    for (int i = 0, N = 1024; i < T; ++i, N += N) {            // #5
        double time = time_trial(N);
        Std_Out::printf("%10d%10.3f%7.2f\n", N, time, time/prev);   // #6
        prev = time;
    }
}

...

用 [0,1) 之间的实数初始化待排序数组（#1），打开计时器后执行排序（#2），确保得到正确的排序结果（#3）。整个测试过程要执行 T 次排序（#4）。每次执行排序的数据规模都会翻倍（#5），并以上一次排序的时间为基础计算倍率（#6），

此测试在实验环境一中完成，

$ g++ -std=c++11 test.cpp std_out.cpp std_random.cpp stopwatch.cpp type_wrappers.cpp

$ ./a.out 15

         N      Time  Ratio
      1024     0.018   2.25
      2048     0.039   2.17
      4096     0.087   2.23
      8192     0.191   2.20
     16384     0.416   2.18
     32768     0.908   2.18
     65536     1.996   2.20
    131072     4.332   2.17
    262144     9.348   2.16
    524288    20.088   2.15
   1048576    43.033   2.14
   2097152    91.654   2.13
   4194304   194.493   2.12
   8388608   412.155   2.12
  16777216   871.686   2.11

可以看出，随着数据规模的成倍增长，排序所花费的时间将是上一次规模的 2.1? 倍，且在不断地变小。将数据反映到以 2 为底数的对数坐标系中，可以得到如下图像，

O(N*log(N)) 代表了线性对数级别复杂度下的理论排序时间，该行中的数据是以 Time 行的第一个数据为基数逐一乘 2 + 2/log(N) 后得到的结果（因为做的是倍率实验，所以乘 (2*N*log(2*N)) / (N*log(N))，化简得到 2 + 2/log(N)，即乘 2+2/log(1024)，2+2/log(2048)，2+2/log(4096)，... 2+2/log(16777216)；因为是二叉堆，所以 log 的底数为 2）。

◆ 最后

完整的代码请参考 [gitee] cnblogs/18315474 。

查看性能对比，了解此算法与其它排序算法的相似性和差异性。

写作过程中，笔者参考了《算法（第4版）》的堆排序、练习题 2.4.42、“排序算法类模板”和倍率实验。致作者 Sedgwick，Wayne 及译者谢路云。